ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка из "Расчет машиностроительных конструкций методом конечных элементов " ГОНКИ с промежуточным ортонормированием решения [6]. Рассмотрим кратко основные положения этого метода. [c.149] Нетрудно убедиться, что решение (9.28) с учетом выражений (9.29)—(9.32) удовлетворяет граничным условиям (9.26) краевой задачи (9.25) — (9.26) при любой комбинации произвольных постоянных р ° , которые при таком выборе начальных векторов Уу (ха) являются недостающими компонентами начального вектора у (Хо). [c.149] Очевидно, это решение удовлетворяет первому граничному условию (9.26) и дифференциальному уравнению (9.25). [c.150] Здесь выражения типа (у , yi) означают скалярное произведение векторов. [c.150] Недостающие компоненты решения в точке Хт находим по формуле (9.43). [c.152] Решение в точках Xs (s = 1,. .., т) ортогонализации можно найти по формуле у (х ) = z ) + р ), решение в начальной точке Хо — по формуле (9.28). [c.152] Изложенный процесс решения краевой задачи (9.25)—(9.26) при достаточном числе точек ортогонализации устойчив к погрешностям округления и позволяет получить решение этой краевой задачи с высокой точностью. [c.152] Аналогично можно вычислить остальные столбцы матрицы жесткости [/С]. Для этого нужно решить последовательно п краевых задач вида (9.47)—(9.48). [c.153] Вектор у+ (хо), полученный в результате решения краевой задачи (9.46), (9.49), является верхней половиной вектора Qo, вектор у+ (xi) — нижней половиной вектора Q . [c.153] Для вычисления матрицы жесткости [/С] и вектора Qo на интервале [хо, Xi ] с помощью изложенного ( юрмального метода необходимо решить (п + 1) (п/2 + 1) задач Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка вида (9.46). [c.153] Рассмотрим метод вычисления матрицы жесткости [/С] и вектора Qo. [c.153] С помощью соотношений (9.50) найдем вектор у+ (Хт), а следовательно, и компоненты первого столбца подматрицы [/СггЬ Осуществив обратную прогонку по формулам (9.45), определим постоянные р( , являющиеся вектором решения у+ (хо), а следовательно, и первым столбцом подматрицы [/ ail. [c.154] Таким образом, для определения компонент матрицы [/С1 и вектора Q с помощью изложенного метода необходимо на интервале [хо, Xi ] решить п + 1 задачу Коши для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (9.46) первого порядка, т. е. снизить объем вычислений в (п/2 + 1) раз по сравнению с формальным способом вычисления элементов матрицы [/С] и компонент вектора Qq. [c.155] Приведенных здесь процедур вполне достаточно для реализации метода прогонки Годунова на языке ПЛ-1. [c.157] Рассмотренный метод вычисления матриц жесткости имеет хорошую устойчивость к погрешностям округления и быструю сходимость по отношению к числу т точек ортогонализации при работе с действительными переменными [11, 12]. При работе с комплексными переменными такие исследования не проводили, поэтому приведем два методических примера вычисления матриц жесткости для различного числа точек ортогонализации. [c.157] Панель имеет следующие геометрические и механические характеристики а — 2500 см Ь = 5000 см Н = 250 см hi = = Лз = 1 см /1а = 10 см Е = Е = 2-10 Па = 10 Па 1 = з = 0.3 Vj = 0,1 Pi = Рз = 8-10 кг/м Рг =2-10 кг/м А-1 = Лз = Pi = Рз = схх = 3 = 0 А2 0,05 Pj = 0,1 = = 0,01 Шд = 200 с . [c.157] Процессорное время на ЭВМ ЕС-1045, затрачиваемое на расчет в одной точке ортогонализации, составляет 1,5 с. Так, для вычисления матрицы [/(] при т = 8 необходимо 12 с. [c.164] В качестве второго примера рассмотрим трехслойную тороидальную оболочку симметричного по толщине строения. [c.164] Результаты вычисления при /п = 5, 10, 20, 40, 80, 160 для одного шага интегрирования между точками ортогонализации приведены в табл. 9.7—9.12. При m = 80 и m = 160 элементы матрицы [/С] совпадают во всех значащих цифрах. [c.164] Вернуться к основной статье