ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Использование свойств разреженности матриц при решении систем линейных алгебраических уравнений из "Расчет машиностроительных конструкций методом конечных элементов " Важнейшими из специальных свойств матрицы [/С] являются симметрия относительно главной диагонали, положительная определенность и высокая степень разреженности (последнее означает, что лишь незначительная часть элементов матрицы отлична от нуля). Эти свойства позволяют создать специальное математическое обеспечение, ориентированное именно на работу с матрицами, имеющими перечисленные свойства, что резко повышает эффективность таких программ по сравнению с программами общего назначения. [c.34] В результате выполнения этой программы на месте нижнего треугольника матрицы [/(] (3.9) получаем множитель [L], на месте диагонали — диагональ матрицы ID ]. Верхний треугольник матрицы остается без изменений. [c.36] Здесь и далее звездочками в матрицах отмечено положение ненулевых элементов. [c.38] Поставим ей в соответствие ненаправленный граф G согласно следующим правилам 1) каждой строке (столбцу) соответствует одна вершина 2) если некоторый внедиагональный элемент матрицы отличен от нуля, вершины i и / соединены ветвью в противном случае ветвь отсутствует (рис. 3.7). Тогда заполнение матрицы можно промоделировать , рассматривая только граф. Действительно, появление ННЭ в ячейке kim адекватно появлению в графе еще одной ветви, соответствующей вершинам I и т. Симметричная перестановка строк и столбцов эквивалентна изменению порядка выбора (исключения) вершин графа в процессе моделирования разложения. [c.39] Существует несколько весьма удачных алгоритмов квази-оптймальной перенумерации вершин графа [3]. Так, в описываемой далее процедуре решения СЛАУ методом LDL -факторизации использован алгоритм минимальной степени, сущность которого заключается в том, что на очередном шаге перенумерации из всех вершин выбирается та, которая в данный момент имеет наименьшую степень. Этот алгоритм достаточно сложен, поскольку структура графа изменяется в процессе перенумерации вследствие появления новых ветвей. [c.39] Такой способ нормирования основан на том, что все круги Гершгорина [1] становятся концентричными с центром в точке (1, 0) на комплексной плоскости. При этом собственные значения матрицы сближаются , что и означает улучшение обусловленности. [c.41] Рассмотрим вопрос о прекращении итерационного процесса, а следовательно, об оценке точности полученного решения. Эффективный способ определения момента завершения вычислительного процесса приведен в работе [10]. Поскольку машинное представление чисел имеет ограниченную разрядность, вычисления необходимо остановить, когда невязки станут одного порядка с погрешностями округления. Невязку можно вычислять по формуле (3.19) или по формуле г = I — F (определение невязки). [c.41] Выполнение условия (3.22) означает, что невязки имеют порядок погрешностей округления. [c.41] Практика показывает, что критерий (3.23) надежен только при предварительном нормировании матрицы СЛАУ по формуле (3.21). [c.42] Вернуться к основной статье