ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача о трещине, упирающейся в упругое зерно из "Математические вопросы трещин " Решение методом трпгонометрическпх рядов. В качестве модельной предлагается задача о плоской упругой области, ослабленной разрезом конечной длпны, на концах которого имеются малые круговые упругие включения Vi — характеристики матрицы, Е2, V2 — характеристики зерен. [c.193] Напряжения и перемещения щ связаны с функцией w стандартными соотношениямп классической плоской теории упругости. Символ [ ] означает скачок нри переходе границы. [c.193] Условие (5.1.4) означает непрерывность соответствующих компонент напряжений и смещений при переходе через границу зерен. [c.193] Естественно считать, что возмущения полей деформаций и напряжений, вызванные наличием малых включений, быстро спадают с удалением от границ включений. Поэтому в качестве следующего шага при решении задачи (5.1.1) —(5.1.4) естественно выбрать функцию Wiix, у) существенно отличающуюся от нуля лишь в малой окрестности включения. Ограничимся построением Wiix у) вблизи правого конца трещины. [c.194] Здесь xiGe) и % Gi) — характеристические функции областей Gг И Gi] Г](г, а) — срезающая, бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю при г а/2. [c.194] Для членов разложения (5.1.9) более высокого порядка по 8 будем иметь аналогичные системы уравнений. [c.195] В качестве примера рассмотрим задачу об одноосном растяжении бесконечной плоскости, ослабленной прямолинейной трещиной с круговыми включениями на концах. [c.196] Умножая каждое из уравнений данной системы на sin Z0, os /0 I = О, 1, 2, 3,. ..) и интегрируя по 0 в промежутке от —я до я, приходим к бесконечной алгебраической системе уравнений. [c.198] Для абсолютно жесткого включения при дополнительном условии Vi = О для решения полученной системы эффективен метод усечения. В этом случае у напряжений и деформаций (в том числе и в вершинах трещины) нет особенностей и ряды достаточно быстро сходятся. [c.199] Применение к задаче о трещине, упирающейся в зерно, методов теории функций комплексного переменного ). [c.200] Очевидно, что напряжения и перемещения, соответствующие функциям ф2(2), г1 о( ), удовлетворяют граничным условиям на разрезе и на внешней границе, но не удовлетворяют условиям на границе включения. [c.200] Здесь о( ) и /о( ) — функции, аналитические вне единичного круга. [c.201] функции Ч ( ), /( ) выражены через функцию Ф( ) посредством формул (5.1.29), (5.1.30). Дня определения неизвестных пока коэффициентов разложения функций Ф( ) и g( ) обратимся к соотношению (5,1.23). [c.204] Уравнение (5.1.35) мояшо решать традиционными для комшхексного переменного методами, но вычисления дают недостаточную точность, связанную, в частности, с наличием особой точки 5 = —1. [c.205] Формула (5.1.36) справедлива, если корпи Xk простые. Последнее заведомо имеет место при т 2. В случае кратных корней формула (5.1.36) несколько усложняется. [c.205] И соответствующими разложениями для Ч ( ) и /( ). Здесь Яй — корни соответствующего характеристического уравнения для задач теории упругости в угле (см. [3, 20] и др.) Re (О, 1). [c.206] Таким образом, получена задача сопряжения об определении кусочно аналитической функции с линией скачков 1 1 =1, —п 0 я, с полюсом порядка N в бесконечно удаленной точке. [c.206] Соотношения (5.1.39), (5.1.40) позволяют из линейных алгебраических соотношений последовательно определить Aj, коэффициенты полинома Pn и коэффициенты а разложения (5.1.36). Тем самым дана методика для получения асимптотически точного решения задачи (5.1.1) —(5.1.4). [c.207] Приведем численные расчеты для задачи об одноосном растяжении бесконечной плоскости, ослабленной прямолинейной трещиной iy = 0, х а — г) с круговыми включениями на концах г е . [c.207] Вернуться к основной статье