ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О подходах Гриффитса и Снеддона при идеализации реальной плоской трещины из "Математические вопросы трещин " Исследуем другой возможный вариант идеализации плоской трещины в виде эллипса с малым отношением Ь/а Ша 1) или, что то же самое, с малым радиусом кривизны Го = Ъ /а в точке х = а, у = 0, Отметим, что А. Гриффитс [31] предложил именно такую трактовку трещины. Рассмотрим задачу о наклонной щели в поле растяжения. [c.175] Будем действовать по плану, предложенному в [7], проводя подробные вычисления. [c.176] Обсуждение подходов Снеддона и Гриффитса в задачах теории трещин. Как было указано выше, замена реальной плоской треш ины разрезом приводит к формулам Снеддона (4.4.8). Простота и наглядность указанных формул обебпечили им широкое распространение и, как это часто бывает, полученные формулы стали употребляться без анализа их области применения, что может приводить к недостоверным результатам. [c.179] Из формул (4.4.8) видно, что точка г = О особая напряжения при г = О обращ аются в бесконечность, не выполняется условие о суш ествовании двух взаимно нер-нендикулярных главных направлений, пределы напряжений на плош адках, проходяш их через точку г = О, различны в зависимости от пути стремления к ним. [c.179] В связи с вышесказанным нельзя считать абсолютно достоверным полученный на основе (4.4.8) вывод о том, что при одноосном перпендикулярном трещине растяжении максимальное нормальное напряжение достигается на площадке, проходящей через точку г = О под углом 67° к оси абсцисс (см. [21], с. 533). [c.179] Рассматривая формулы (4.4.8) как результат упрощений формул (4.4.13), видим, что такое упрощение оправдано при г Го = 67бг, т. е. далеко от конца трещины. При r b Ia расчет по формулам (4.4.8) и (4.4.13) приводит к различиям количественного и качественного характера. Например, тахорр в силу формул (4.4.13) достигается при 6 = О на границе выреза, в отличие от результата, следующего из формул (4.4.8) (см. 3). [c.179] Проведенное обсуждение показывает, что возможны две математические идеализации реальных треш ин — Гриффитса и Снеддона. Суш ественно, что при определении разрушающей нагрузки оба подхода приводят к близким результатам. В то же время картины напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещин, определенные в силу формул (4.4.8) и (4.4.13), существенно различны, И этот факт должен приниматься во внимание при анализе задач разрушения. Более последовательным представляется подход Гриффитса с выбором в качестве Го = ЬУа структурного параметра трещины, например, межатомного расстояния б. [c.180] Сказанное выше касается и применимости формул типа Снеддона для областей с угловыми вырезами. [c.180] В настоящем пункте изложены результаты статьи [5]. [c.181] Здесь L —оператор системы (4.4.19), 6 —символ Кропе-кера. Отметим, что полученное разложение решения задачи (4.4.19)—(4.4.21) вносит невязку в граничные условия (4.4.20) и сингулярно в точках (а, 0) и —а, 0), причем с ростом к степень сингулярности возрастает. [c.182] Строим компенсирующее разложение для определенности в окрестности точки (а, 0). [c.182] 23) следует, что oix, у) есть решение задачи о напряженном состоянии плоскости с прямолинейным разрезом 1а 1 а, у = 0 , растягиваемой заданными на бесконечности нагрузками. [c.183] В частности, для эллиптического выреза Го == bVa, и формула (4.4.40) совпадает с (4.4.16). [c.186] Сделаем некоторые выводы. [c.189] О неустойчивости плоского решения задачи о растяжении пластины с внутренним разрезом [15]. В настоящем пункте обсуждается эффект, вызванный наличием разреза с учетом нелинейности. [c.189] Рассмотрим пластину, ослабленную конечным разрезом и растягиваемую усилиями, действуюгцими в плоскости пластины перпендикулярно разрезу (рис. 54). [c.189] Здесь F определяется из второго уравнения (4.4.59) при граничных условиях (4.4.60). [c.190] Покажем, что существует р = для которого бV — вторая вариация энергии в окрестности плоского решения отрицательна при р и положительна при р р . [c.190] Вернуться к основной статье