ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы НЕКОТОРЫЕ РОДСТВЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ из "Неодномерные упругопластические задачи " Здесь т — некоторая постоянная. [c.153] До сих пор мы предполагали, что часть контура упругой зоны совпадает с внешней границей. В работе [7] показано, что это предположение действительно имеет место, что подтверждается и экспериментом. [c.155] Следуя работе [7], приведем задачу к дифференциальному уравнению класса Фукса. [c.155] Давая индексу v значения от 1 до и, получаем условия на всей действительной оси. [c.156] В уравнении (3.3.23) через бз +г-з(0 обозначен некоторый полином степени Зи + г - 3, содержащий постоянные, подлежащие определению. [c.157] Рассмотрим прямую, проходящую через точку А перпендикулярно к направлению вектора касательного напряжения в этой точке. Вдоль прямой АВ в пластической области компонента напряжения, действующая по направлению, перпендикулярному к этой прямой, равна к, а компонента напряжения, направленная по прямой, равна нулю. Если построить траекторию, ортогональную к семейству полученных прямых, то компонента напряжения, действующая по нормали к этой ортогональной траектории, будет равна нулю. Следовательно на ней выполняется условие, которое должно иметь место на контуре, ограничивающем поперечное сечение стержня. Таким образом, если полученная ортогональная траектория будет замкнутой кривой, то она может быть контуром сечения некоторого стержня, подвергнутого упругопластическому кручению (рис. 3.4). [c.158] Пусть уравнение искомой линии имеет параметрическое представление х=х(т), у у(т). [c.159] Пол енные выражения дают координаты точек контура, ограничивающего поперечное сечение прюматического стержня. Причем координаты этих точек определяются с помощью функщ1и (г). Функции ф(т) соответствует множество контуров, которые получаются при различных значениях постоянной с. [c.160] Найдем теперь условия, которым должна удовлетвррять функция ф (г). Так как полученная ортогональная траектория должна являться контуром поперечного сечения стержня, то она должна быть замкнутой кривой, не имеющей двойных точек, т.е. не обладающей петлями. [c.160] Если период окажется больше 2тг, то необходимая периодичность функции осуществляется, однако ортогональная траектория будет обладать петлями. [c.161] Заметим, что если условие (3.3.48), которое является чрезмерно ограничивающим, не будет выполняться, то все же возможны при не слишком больших значениях с ортогональные траектории, не обладающие петлями, которые могут быть контурами призматического стержня. [c.161] Все условия (3.3.46) (3.3.48) будут выполнены, когда р т) является нечетной монотонной функцией от г, меняющейся в пределах от —тг до тт. В этом случае контур сечения стержня будет симметричным. [c.161] Рассмотрим несколько приложений полученных результатов. Если положить ф(т) = т, то мы получим решение задачи о кручении стержня кругового сечения. [c.161] оба этих контура будут круговыми. [c.162] Рассмотрим теперь случай, когда функция ф(т) равна различным постоянным на разных частях интервала -я г я. Пусть контур призматического стержня близок к некоторому прямоугольнику SPQR со сторонами а к Ь (рис. 3.5, а). Напряжения г г и Tyz на частях контура легко определяются. [c.162] Параметр к должен быть таким, чтобы найденная при этом упругая область соответствовала контуру, ограничивающему поперечное сечение стержня. Он подлежит определению. [c.162] Разность сторон прямоугольника а - Ь будет представлять собой расстояние между точками Л/ hN. [c.162] Давая углу кручения различные значения, мы будем получать различные виды границы между упругой и пластической областью. На рис. 3.6 показано постепенное продвижение границы пластической области при увеличении угла кручения (крутящего момента), приложенного к призматическому стержню прямоугольного сечения. [c.163] На рис. 3.7 показано продвижение пластической зоны при увеличении угла кручения. [c.164] Вернуться к основной статье