ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Упруго пластическая задача для тонкой пластины, ослабленной двоякопериодической системой круговых отверстий из "Неодномерные упругопластические задачи " В силу симметрии граничных условий и геометрии области Д занятой материалом среды, напряжения являются периодическими функциями с периодом со. [c.117] Относительно функции/i (0) + if 2 (0) будем считать, что она разлагается на т I = X в ряд Фурье. [c.118] Системы (2.3.13) и (2.3.14) совместно с сингулярным уравнением (2.3.15) являются основными уравнениями задачи, позволяющими определить функцию (j ) и коэффициенты а к+г 2к+2- Зная функции S(x), Ф2 ( ) и 2 (z), можно найти напряженное состояние упругопластической пластины. [c.120] Для простоты записи полагаем Я, (т ) = Я ( о) - Oj. [c.121] Сингулярное интегральное уравнение обычно регуляризуют по Карлема-ну-Векуа путем сведения к уравнению Фредгольма. Однако при решении задач, представляющих интерес для приложений, по-видимому, целесообразнее использовать один из способов прямого решения сингулярных уравнений [37-39]. Ниже применяется способ, развитый в работе [40] и рассмотренный в п. 10 2. [c.121] Здесь Ро (v) непрерывна по Гельдеру на отрезке [-1,1], причем функция Ро (п) заметяется интерполяционным полиномом Лагранжа, построенным по чебышевским узлам (см. формулу (2.2.109)). [c.121] Система (2.3.23) замыкается двумя бесконечными системами (2.3.13) и (2.3.14), в которых вместо А2к подставлено соотношение (2.3.22). [c.122] Величина /, характеризующая длину полос пластичности, входит в решете уравнения (2.3.15) как неизвестный параметр, подлежащий определению. [c.122] Так как напряжения в идеальном упругопластическом материале ограничены, то решение сингулярного интегрального уравнения следует искать в классе всюду ограниченных функщда (напряжений). Условие ограниченности напряжений в концах служит для определения параметра /, зная который можно найти длину пластических зон. [c.122] Это значит, что при решении уравнения (2.3.19) в классе (2.3.20) совместно с двумя бесконечными системами (2.3.13) и (2.3.14) к системе (2.3.23) следует присоединить уравнение (2.2.114). [c.122] 8 объясняется тем, что коэффициенты систем (2.3.13), (2.3.14), а также формулы для функций /г ( ) содержат высокие степени параметра X. [c.123] На рис. 2.13 приведены графики зависимости длины полосы пластичности йот безразмерного значения внешней нагрузки a /oj для некоторых значений радиуса отверстия Л = 0,7 — 0,2 (кривые 1 — 6). Там же (штриховой линией) для сравнения дан график зависимости длины полосы пластичности в случае одного отверстия. [c.123] Здесь Os - предел текучести материала при простом растяжении. [c.124] Для выполнения неравенства Og Or Q нагрузка, очевидно, должна удовлетворять условию р а . [c.124] Для составления уравнений относительно остальных коэффициентов функций V (f ). / (f ) и o(f) разложим эти функции в ряды Лорана в окрестности точки f = 0. [c.125] Зависимость параметра Л от приложенной нагрузки находится в процессе решения. Однако проще считать заданным параметр X и определять соответствующую нагрузку. [c.127] На рис. 2.14 представлены зависимости параметра X от величины приложенной нагрузки при р = О для некоторых значений радиуса отверстия / = 0,5 - 0,1 (кривые 1-5). [c.127] На рис. 2.15 упругопластическая граница представлена для случая R = = 0,3 Л =0,7 р = 0, q/o, = 0,621 (г а = 0,851 = 0,419). [c.127] Из условия R определяется наименьшая нагрузка, при которой контур отверстия целиком охватьтается пластической зоной. Соотношение (2.4.10) при Гщах 1 позволяет найти наибольшую нагрузку, при которой пластические зоны касаются одна другой. [c.128] Вернуться к основной статье