ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод обобщенного подобия в теории плоского стационарного пограничного слоя из "Механика жидкости и газа " В рассмотренном в предыдущем параграфе локально-подобном приближении производные дФ1д1 и дФlдf равнялись нулю. Входящие в правую часть уравнения (73) якобианы при этом также были равны нулю, и уравнение (73) совпадало с уравнением локально-подобного приближения (35). [c.468] Введение новых переменных /2, /2 в преобразование (62) (см. далее (80)) приведет к появлению в уравнении (73) производных /2 и / , которые по равенствам, аналогичным (79), будут содержать новые переменные /3, /3 и т. д. [c.469] Только введение с самого начала в преобразование (62) двух бесконечных последовательностей (77) позволит вывести искомое уравнение, лишенное зависимости от х. [c.469] Уравнение (84) при граничных. условиях (85) представляет нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка в частных производных, обладающее свойством универсальности в том смысле, что оно и соответствующие ему граничные условия имеют один и тот же вид для любых аналитических заданий распределений скорости и (х) на внешней границе пограничного слоя. Это особое свойство уравнения (84) и граничных условий (85) является прямым следствием введенного представления об обобщенном подобии движений в пограничном слое. [c.470] Таким образом, установлена возможность приведения дифференциального уравнения Прандтля (15), содержащего в себе и в соответствующих ему граничных условиях частное, характерное для данной конкретной задачи распределение скоростей на внешней границе пограничного слоя, к универсальному дифференциальному уравнению (84), одинаковому для всех возможных, обладающих свойством аналитичности, т. е. существования производных любого порядка функции 11 х). [c.470] Введение бесконечно большого числа переменных // , и неизбежность в практических расчетах урезания сумм, входящих в правую часть уравнения (84), без доказательства сходимости такого процесса, придает, конечно, всему методу эвристический характер. [c.470] Уравнение (84) при граничных условиях (85) должно быть один раз численно проинтегрировано на ЭВЦМ, причем речь может пока, по-видимому, идти лишь об отрезке уравнения, соответствующем значению к = , так как даже это простейшее приближение потребует пользования тремя переменными (ц, Д, Д), что в настоящее время является верхним пределом числа независимых переменных, допустимого при пользовании ЭВЦМ для интегрирования уравнений в частных производных. [c.470] Имея в виду указанное существенное обстоятельство, связанное с использованием ЭВЦМ для численного интегрирования уравнения (84), а также и затруднения, возникающие на последнем этапе решения заданной конкретной задачи, упростим это уравнение, сведя его к виду, содержащему лишь независимые переменные ц и /. [c.470] Совокупность уравнений (87) и (88) при 0ь (/с = 1, 2,. . . ), определяемых первым равенством системы (82), представляет упрощенное по сравнению с (84) и также универсальное уравнение, требующее интегрирования один раз навсегда и последующего табулирования решения. [c.471] Фактическое решение уравнения (87) требует ограничения числа независимых переменных на современном уровне вычислительной техники, по-видимому, тремя ц, Д и /2. Это приводит к необходимости применения известного метода урезания, который заключается в приравнивании нулю переменных, начиная с некоторого индекса. [c.471] С точки зрения развиваемого в настоящем параграфе метода обобщенного подобия это однопараметрическое приближение должно привести к известному методу Хоуарта ), основанному на использовании точного решения уравнения Прандтля для линейного распределения скорости на внешней границе пограничного слоя. Решение уравнения (91) будет точным для этого частного случая и приближенным для случая произвольного распределения и (х). [c.472] Первый параметр Д, наряду с толщиной потери импульса б (х), которая выражает в интегральной форме предысторию движения в пограничном слое, содержит еще первую производную внешней скорости II (х), тем самым учитывая влияние местного уклона кривой распределения этой величины. Положительным значениям соответствует ускоренное движение (конфузор-ный участок пограничного слоя), отрицательным — замедленное движение (диффузорный участок). [c.472] Можно полагать, что двухпараметрическое приближение, учитывающее влияние не только наклона касательных к кривой заданного распределения скорости V (ж), но и кривизну в отдельных точках этой кривой, должно давать достаточно точные результаты расчета. Излагаемый далее пример иллюстрирует это утверждение. [c.473] Графики функций (/ , /3) и / (/ , /2) в форме семейств с параметром /з приведены на рис. 173 и 174. Можно отметить сравнительно сильное влияние параметра /2 на кривые семейства (/ , /2) и более слабое на (Л, /2). [c.476] Озерова, Л. М. С и м у н и, Приближенное двухпараметрическое решение уравнений ламинарного плоского стационарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости. Труды ЛПИ, 313, Аэротермодинамика, 1970. [c.476] Если принять термин локально п-параметрическое приближение для случая, когда в универсальном уравнении п-параметрического приближения сохраняются все п параметров, но в правой его части отбрасываются производные по последнему параметру то метод Кочина — Лойцянского должен получить наименование локалъно-однопараметрического приближения. Полным однопараметрическим приближением является метод Хоуарта. Таким путем может быть, наряду с изложенным двухпараметрическим приближением, получено локально-двухпараметрическое приближение, расчет которого не требует проведения численного интегрирования уравнения с тремя независимыми переменными т), Д, f , последнее переменное /2 рассматривается в этом случае как некоторый параметр, для отдельных фиксированных значений которого приходится проводить интегрирование по двум независимым переменным ц и Д. [c.477] Как показали расчеты, в некоторых, правда, достаточно гладких случаях при определении z х) и затем Д (а ), /2 (х), вполне можно довольствоваться однопараметрическим приближением, так как относительная ошибка в определении б (х), быстро растущей в диффузорном участке, мала. Влияние второго параметра (х) существенно для вычисления напряжения трения Тц, и определения положения точки отрыва, для чего используются зависящие от параметра /2 кривые (Д, /2). При таком подходе задача значительно упрощается, так как а и 6 могут быть приняты просто постоянными, а 8 — функцией одного В этом случае, если прямую для приближенного представления действительной кривой (/1) провести по касательной к ней в точке = 0, то будет а = 0,44, Ь = 5,71. [c.478] Террилл ) дал точное численное решение задачи о плоском погра-ничкюм слое на поверхности круглого цилиндра при задании распределения скорости на внешней границе по теоретическому потенциальному закону синуса. [c.478] Не приводя таблиц, помещенных в цитированной работе Террилла, удовольствуемся сводным графиком двух представляющих наибольший интерес величин б х) и ди ду)у=о (рис. 175). Как видно из рисунка, безразмерная толщина потери импульса б (а ) монотонно возрастает от некоторого начального значения в лобовой критической точке, равного примерно 0,29. Это совпадает со значением В (Р), определенным по табл. 16 при щ = Р = 1 и с = 2, что соответствует закону распределения скоростей на внешней границе пограничного слоя вблизи лобовой критической точки [7 со аг. [c.479] Вернуться к основной статье