ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрическим и призматическим трубам из "Механика жидкости и газа " Одним из наиболее простых случаев движения вязкой несжимаемой жидкости является так называемое ламинарное (слоистое) движение по цилиндрической трубе произвольного сечения, при котором линии тока — прямые линии, параллельные оси трубы. [c.378] Как показывают опыты, такое движение осуществляется в цилиндрических трубах с различными формами сечений, если только число Рейнольдса не превосходит некоторого определенного критического своего значения, после чего движение перестает быть ламинарным, частицы жидкости приобретают сложные траектории и приводимое в настоящем параграфе решение теряет свою силу. Практически излагаемые сейчас результаты имеют значение лишь при движениях с очень малыми скоростями или в тонких капиллярах, или, наконец, при движении очень вязких жидкостей. Подробнее об условиях существования ламинарного режима течения и явлений перехода его в более сложный, турбулентный режим будет сказано в начале главы X. [c.378] Из последнего уравнения этой системы следует, что и представляет функцию только ж и у, а из первых двух — что р — функция только z. Иными словами, если провести нормальные к оси трубы сечения, то во всех таких сечениях распределения скоростей одинаковы, а давление меняется только от сечения к сечению, сохраняя в данном сечении одинаковое значение. Такие движения называют установившимися. [c.378] Отсюда непосредственно следует, что давление в цилиндрической трубе должно уменьшаться вниз по течению, а следовательно. Ар 0. Для трубы переменного сечения, где движение может быть как ускоренным, так и замед- ленным, такое заключение сделать нельзя. [c.379] В конкретных расчетах перепад давления Ар на участке трубы длины I либо задается непосредственно, либо может быть выражен через другие заданные величины секундный расход жидкости сквозь трубу, среднюю по сечению или максимальную скорости. [c.379] Поставленная задача с математической стороны аналогична известной задаче теории упругости о кручении призматического стержня ). [c.379] Можно отметить существенное обстоятельство при данном, определяемом мощностью и конструкцией насоса перепаде давления на участке плоской трубы выбранной длины расход пропорционален кубу расстояния между плоскостями, т. е. резко уменьшается с уменьшением этого расстояния и, наоборот, резко увеличивается с его увеличением. Если задаться потребным расходом, то необходимый для его обеспечения перепад давлений, приводящий жидкость в движение, будет меняться обратно пропорционально кубу ширины щели между плоскостями. Как далее будет показано, этот факт еще усиливается при переходе к трубе круглого сечения, где расход пропорционален четвертой степени диаметра трубы. [c.380] Аналогичное движение будет происходить в плоском длинном лотке, у которого ширина днища во много раз больше высоты лотка (глубины потока), если лоток наклонить. Благодаря наличию свободной поверхности, вдоль которой давление постоянно (оно равно атмосферному давлению в открытом лотке), продольного перепада давления в потоке не будет, т. е. dp dz = 0 поперечный перепад давления будет гидростатическим, одинаковым во всех сечениях. [c.380] Эпюрой векторов скорости, проведенных из точек данного сечения трубы, будет служить поверхность эллиптического параболоида, кривыми одинаковой по величине скорости — изотахами — подобные друг другу эллипсы (с одинаковым отношением полуосей). [c.381] Отметим, что в отличие от плоской трубы в эллиптической трубе средняя скорость равна половине максимальной. Эта закономерность сохраняется и в частном случае цилиндрической трубы круглого сечения. [c.382] Полагая в предыдущих формулах Ъ = а, получим основные формулы ламинарного течения сквозь цилиндрическую трубу круглого сечения. [c.382] Эпюрой скорости в этом случае является параболоид вращения с меридианным сечением в виде параболы (61), называемой обычно параболой Пуазейля по имени французского врача и физиолога, исследовавшего законы движения крови по капиллярным сосудам и опубликовавшего результаты своих работ в докладах Парижской Академии наук в 1840 г. [c.382] Отметим вновь существенную особенность течения потребный для получения заданного расхода сквозь трубы разного диаметра перепад давления обратно пропорционален четвертой степени диаметра трубы (напомним, что в случае плоской трубы этот перепад был обратно пропорционален третьей степени ширины зазора между плоскостями). Это обстоятельство имеет важное значение в вопросах прогонки жидкостей сквозь трубы малого диаметра (например, капиллярные трубки, капиллярные кровеносные сосуды и т. п.), а также в случаях движения очень вязких жидкостей. [c.382] Подставляя это выражение К через Re в (64), убедимся, что в случае ламинарного потока сопротивление круглой трубы, так же как и плоской, пропорционально первой степени средней скорости движения жидкости сквозь трубу. Формула сопротивления (64) только внешне имеет вид квадратичной зависимости от средней скорости. Истинная зависимость от скорости определяется лишь на основании закона сопротивления (65), выводимого из уравнения движения жидкости. [c.383] В чем легко убедиться, подставляя в (64) выражение из (60). [c.383] Используя разложения в бесконечные ряды, можно решить задачу о протекании несжимаемой вязкой жидкости сквозь трубу прямоугольного сечения. Обозначим высоту прямоугольника, параллельную оси Оу, через 2h, а основание, параллельное оси Ох, — через 2 x,h, где х — любая положительная постоянная. Ось Oz, как и ранее, проведем через центр прямоугольника и направим вниз по потоку. [c.384] Переходя к пределу х—уоо, получим вновь закон сопротивления плоской трубы (52), а при х=1, по только что приведенной табличке, и закон сопротивления трубы квадратного сечения. [c.386] Прием этот очень груб и имеет смысл только, если у сравниваемых труб сечения геометрически близки друг к другу. [c.386] Напряжение трения Тц, в круглой трубе совпадает по величине с перепадом давления на участке длиной в полрадиуса трубы, т. е. [c.387] Вернуться к основной статье