ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости. Применение функций комплексного переменного из "Механика жидкости и газа " Решение этой задачи будет дано в гл. VII, 69. [c.164] Как известно, задача интегрирования уравнения Лапласа (17) или, что все равно, разыскания гармонической функции, удовлетворяющей условиям (18), (19) или (20), (21), представляет пример внешней задачи теории потенциала. В дальнейшем будут разобраны различные примеры решения задач такого типа, как для обтекания тел жидкостью (внешняя задача), так и для внутреннего протекания жидкости сквозь каналы (внутренняя задача). [c.165] Безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости обладает многими интересными свойствами. Докажем следующую теорему Кельвина если на границе некоторой односвязной области вихревое движение совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого движения в рассматриваемой области меньше кинетической энергии вихревого движения. [c.165] Из теоремы Кельвина следует, что если на границе односвязной области скорости равны нулю, то единственным возможным безвихревым движением несжимаемой жидкости внутри такой области является покой. Действительно, всегда можно представить себе произвольное (вихревое ), сколь угодно медленное движение, при котором скорости на границе области равны нулю кинетическая энергия такого вихревого движения будет как угодна мала, а кинетическая энергия соответствующего по теореме Кельвина безвихревого движения, будучи положительной величиной, меньшей другой сколь угодно малой величины, должна быть тождественно равна нулю во всей области. [c.166] К тому же результату можно прийти и непосредственно, не пользуясь теоремой Кельвина. Для этого выведем полезную для дальнейшего общую формулу кинетической энергии односвязного объема несжимаемой жидкости, движущейся безвихревым образом. [c.166] Б поверхностном интеграле, полученном из объемного по известной формуле (III.8), под п понимается орт внутренней нормали, направленной внутрь объема жидкости, вследствие чего перед интегралом поставлен знак минус. [c.166] Если на ограничивающей односвязный объем жидкости поверхности а скорость равна нулю, то и Е,, = дц /дп = О, откуда по (24) сразу будет следовать, что и Г = 0. Таким образом, вновь приходим к тому же результату, который следовал из теоремы Кельвина. [c.167] Изучение безвихревых движений начнем с простейшего класса такого рода движений — плоского стационарного движения несжимаемой жидкости. [c.167] Определение плоского движения в гидродинамике ничем не отличается от соответствующего определения кинематики твердого тела. При плоском движении все частицы жидкости получают перемещения, параллельные некоторой плоскости, которую примем за плоскость хОу, причем во всех параллельных плоскостях движения тождественны. Будем рассматривать поэтому лишь движение в плоскости хОу. Каждая линия в таком плоском движении, проведенная в плоскости хОу, является на самом деле направляющей цилиндрической поверхности с образующими, перпендикулярными к плоскости хОу. Контур обтекаемого тела представится некоторой линией в плоскости, хотя на самом деле происходит обтекание бесконечного цилиндрического тела. Все величины расходов жидкости, сил, приложенных к обтекаемым телам, и др. будем относить к единице длины в направлении перпендикуляра к плоскости хОу, т. е. в направлении оси Ог, которая на рисунках в дальнейшем опускается. [c.167] В случае плоского движения задача эта может быть с успехом разрешена при помощи метода комплексной переменной, применение которого составляет основное содержание гидродинамики плоского безвихревого движения несжимаемой жидкости. [c.167] Следовательно, разность значений функций тока в двух каких-нибудь точках потока равна секундному объемному расходу сквозь сечение трубки тока, ограниченной линиями тока, проходящими через выбранные точки. [c.168] Это можно всегда сделать, так как, согласно системе равенств (26), функция тока определяется с точностью до аддитивной постоянной. Если принять такое условие, то значение константы в (27) на некоторой линии тока будет равно секундному объемному расходу жидкости сквозь сечение трубки тока, образованной этой линией тока и выбранной произвольно нулевой линией. [c.169] И приравнивая друг другу правые части этих равенств, получим те же выражения условий Коши — Римана. [c.169] Координата г, соответствующая перпендикулярной к плоскости Оху оси Ог, в плоской движении не встречается это позволяет использовать букву г для обозначения комплексной величины X - - у. [c.169] ЧТО И доказывает взаимную ортогональность изопотенциальных линий и линий тока. [c.170] Если вместо функции х (2) рассмотреть функцию (z), то в новом движении потенциал скоростей поменяется местами с функцией тока, а изопотенциальные линии — с линиями тока этим приемом часто приходится пользоваться при построении обтеканий. Отсюда следует, что функция тока ф х, у) всегда играет сопряженную роль с функцией ср (х, у) — потенциалом скоростей каждая из этих функций может быть как функцией тока, так и потенциалом скоростей в двух сопряженных между собой безвихревых плоских движениях идеальной жидкости. [c.170] Понятие векторного потенциала мало что дает в плоском движении, но полезно при рассмотрении пространственных движений жидкости. К этому вопросу мы вернемся в гл. VII. [c.170] Функцию X (z), объединяющую в один комплекс оба потенциала скалярный потенциал скоростей и проекцию векторного — функцию тока, называют комплексным потенциалом или характеристической функцией течения. [c.170] Вернуться к основной статье