ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Волны разрежения за движущимся поршнем. Центрированные волны Автомодельная и общая задачи из "Механика жидкости и газа " Рассмотрим детальнее ) вопрос о волнах разрежения, образующихся в одномерном газовом потоке за движущимся поршнем. Начнем с простейшего случая так называемых центрированных волн разрежения. [c.150] Это — прямые линии, на каждой из которых имеют место свои постоянные вдоль каждой из прямых значения щ и %. [c.150] Если все характеристики данного семейства пересекаются в одной и той же точке, то соответствующие им волны носят наименование центрированных.. [c.150] Рассмотрим в качестве примера центрированных волн задачу о потоке газа за движущимся поршнем (рис. 48) и определим, каков должен быть закон движения поршня, для того чтобы вызываемые им волны разрежения были центрированными. [c.150] Отметим, что, в то время как характеристики семейства в плоскости (х, t) представляют семейство прямых, зависящее от значения разности и — а, в плоскости (и, а) все характеристики сливаются в одну прямую. [c.151] Если скорость поршня будет больше этой скорости, то между поршнем и газом образуется вакуум, причем скорость истечения в вакуум Пщах в этом нестационарном случае отличается от стационарной максимальной скорости (19) тем, что у последней перед величиной Сд вместо 2 к — 1) стоит множитель У 2 к — 1). Таким образом, например, для воздуха скорость истечения в вакуум при рассматриваемом нестационарном движении оказывается в 5 раз больше, чем в случае стационарного движения. При стационарном движении газа удельная кинетическая энергия истечения в вакуум, согласно (20), точно равна полной энтальпии в резервуаре, из которого происходит истечение в случае же нестационарного истечения кинетическая энергия в 21 к — 1) раз превосходит полную энтальпию. [c.152] В дальнейшем придется часто встречаться с такого рода случаями возможности сведения уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В этих случаях решение представляется в функции от одного аргумента, который является некоторым сочетанием основных аргументов задачи. Постоянным значениям этого сложного аргумента соответствуют целые многообразия решений по отдельным аргументам, которые можно рассматривать как подобные между собой. По этой причине вообще решение дифференциального уравнения в частных производных, выраженное в функции одного сложного аргумента, представляющего одночленную совокупность аргументов, содержащихся в постановке задачи, и удовлетворяющее обыкновенному дифференциальному уравнению, к которому в этом случае приводится основное уравнение в частных производных, носит наименование автомодельного (в заграничной литературе — подобного) решения, а сама задача называется автомодельной. [c.153] Примером такого автомодельного решения является только что полученное решение задачи о центрированных волнах разрежения, где в качестве сложного аргумента фигурировало сочетание (х — x)/ t — t). В полной аналогии с этой одномерной нестационарной задачей в дальнейшем (гл. VI) будет разобрана плоская стационарная задача о центрированных волнах разрежения в сверхзвуковом газовом потоке вокруг внешности тупого угла. Большое число автомодельных задач будет рассмотрено также в последующих главах, посвященных теории движения вязкой жидкости в пограничном слое ). [c.153] Автомодельные решения представляют, конечно, лишь некоторые простейшие частные решения поставленной общей задачи, но вместе с тем в большинстве случаев оказываются полезными, так как позволяют судить об основных сторонах рассматриваемого явления. Стоит отметить — в дальнейшем это будет подтверждено многочисленными примерами,— что возможность существования автомодельных решений обусловливается отсутствием в постановке задачи (уравнениях и граничных и начальных условиях) некоторых характерных масштабов времени, длины, массы или др., т. е. некоторой ограниченностью самой постановки задачи, отказом от общности постановки. Так, например, в предыдущей задаче о центрированных волнах разрежения за движущимся поршнем не могло быть речи о произвольном заданном наперед законе движения поршня, а, наоборот, по ходу решения задачи был определен тот частный закон движения поршня, при котором возможно существование центрированных волн. [c.153] Рассмотрим теперь общую постановку задачи о волнах разрежения за движущимся по произвольному закону поршнем. [c.153] Вернуться к основной статье