ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Способы задания движения сплошной среды. Поле скоростей. Линии и трубки тока из "Механика жидкости и газа " Общей задачей кинематики является описание движения среды, безотносительно к тому, какие динамические условия вызывают и поддерживают данное движение. В случае сплошной среды эта задача представляет собой нечто большее, чем просто пространственно-временная регистрация движений отдельных точек среды, как это имеет место в кинематике дискретной системы точек. [c.31] Среди специфических для механики сплошных сред кинематических характеристик движения основное значение имеют те из них, которые служат для интерпретации свойств движения среды в целом . Таковы, прежде всего, геометрические образы векторных линий и трубок — в полях скоростей и вихрей, интегральные меры полей скорости и ускорения — циркуляции этих векторов по замкнутому контуру. [c.31] Наряду с этими суммарными характеристиками движения среды, большое принципиальное значение для понимания самой сущности непрерывного движения сплошной среды имеет классическая теорема Гельмгольца, поясняющая локальный характер движения элементарного объема среды. Эта теорема, представляющая обобщение на случай деформируемой сплошной среды известной теоремы о разложении движения абсолютно твердого тела на поступательную и вращательную составляющие, вводит в механику сплошных текучих сред одно из самых основных ее нредставлеиий о тензоре скоростей деформаций. Этот тензор содержит в своем определении все характерные стороны деформационного движения среды, безотносительно к ее вещественным свойствам, лишь бы только выполнялись указанные ранее условия непрерывности и существования производных в пространственно-временном распределении скоростей в движущейся среде. [c.31] Входящие сюда в качестве параметров величины а, Ь, с, сохраняющие постоянные значения при движении среды, служат для указания выбора той точки среды, движение которой описывается уравнениями (1). Такого рода параметрами могут быть, например, декартовы или криволинейные координаты точек среды в какой-то начальный момент времени. Совокупность величин t, а, Ъ, с носит наименование переменных Лагранжа. [c.31] Здесь приняты следуюш ие обозначения точка над буквой, как обычно в механике,— производная по времени Р, и, V, ии — проекции вектора скорости V на оси неподвижной декартовой прямоугольной системы координат и, V, 1Р — проекции вектора ускорения V на те же оси. [c.32] Хотя лагранжев способ и применяется иногда в некоторых гидродинамических задачах, но все же уступает другому, более широко используемому способу Эйлера, заключающемуся в задании поля скорости, т. е. зависимости проекций и, V, IV скорости от координат точек пространства а , у, 2 и времени Р. [c.32] Совокупность величин х, у, г, I называют переменными Эйлера. Основное различие между методами Лагранжа и Эйлера заключается в том, что в методе Лагранжа величины х, у, % являются переменными координатами движущейся частицы жидкости, а в методе Эйлера — это координаты фиксированных точек пространства, мимо которых в данный момент времени проходят частицы жидкости. [c.32] Поле скоростей будет стационарным, или не изменяющимся, во времени, если в равенства (3) время I не входит. В более общем случае поле может быть нестационарным, зависящим от времени. Обтекание одного и того же тела будет стационарным или нестационарным в зависимости от того, в какой системе координат течение рассматривать. Так, поле скоростей, возникающее при поступательном, прямолинейном и равномерном движении корабля по отношению к покоящейся вдали от него воде, будет стационарным, если рассматривать движение воды по отношению к координатной системе, жестко связанной с кораблем, и нестационарным, если движение относить к неподвижной координатной системе, связанной с берегом. Действительно, при прохождении корабля вблизи данной точки скорость воды в этой точке будет возникать и увеличиваться при приближении корабля и уменьшаться после его прохождения. [c.32] Поле скоростей (3) представляет трудно обозримое бесконечное многообразие векторов скорости, заполняющее часть пространства, занятую движущейся сплошной средой. Чтобы сделать это многообразие более обозримым, необходимо как-то упорядочить его рассмотрение. Для этой цели вводится представление о линиях тока в поле скоростей как о таких линиях, вдоль которых в данный момент времени векторы скорости направлены по касательным к ним в каждой точке. [c.32] Следующий простой опыт может дать наглядное представление о линиях тока. Насыпем на поверхность воды в канале легкий и хорошо видимый в отраженном свете порошок, не растворяющийся в воде. Будем считать, что частички порошка полностью увлекаются водой при ее движении, так что движения частиц воды и порошка на поверхности воды одинаковы (на самом деле это не совсем так некоторая разница, особенно в тех областях, где движение воды резко ускоряется или замедляется, существует). При фотографировании с малым временем экспозиции каждая частичка порошка изобразится на снимке в виде маленькой черточки. Черточки эти, соответствующие малым перемещениям частичек за время экспозиции, сольются в отчетливо видимые линии, которые и будут представлять линии тока рассматриваемого движения. На рис. 8 показана фотография такого рода спектра обтекания эллиптического цилиндра. Аналогичные спектры можно получить запыленном или задымливанием воздуха. [c.32] В системе (4) время играет роль параметра, значение которого сохраняется неизменным при интегрировании уравнений иначе обстоит дело в системе (5), где время — основной аргумент. Таким образом, в общем случае нестационарного поля скоростей уравнения (4) и (5) не совпадают. В частном случае стационарного поля скоростей время в уравнения (4) и (5) явно не войдет и, откидывая излишний в этом случае правый крайний член пропорции (5), получим одинаковые системы уравнений как для линии тока, так и для траектории в этом случае линии тока и траектории совпадут. [c.34] Через каждую точку пространства, заполненного жидкостью, можно в данный момент времени провести, вообще говоря, только одну линию тока. Исключением являются такие точки, через которые проходит либо несколько, даже бесчисленное множество линий тока, либо, наоборот, ни одной такие точки называются особыми. Если линии тока пересекаются в особой точке под конечными углами, то, в силу невозможности одной и той же частице иметь одновременно разные направления движения, становится очевидным, что скорость жидкости в этой точке должна быть равна либо нулю, либо бесконечности. [c.34] Линии тока являются интегральными кривыми уравнения (6), а особым точкам поля скоростей в плоском движении соответствуют особые точки дифференциального уравнения (6). На рис. 59 показаны картины линий тока источника и стока, находящегося в точке О плоскости, что соответствует особой точке уравнения (6) — узлу, через эту точку проходит бесчисленное множество линий тока, а скорость в точке О равна бесконечности. На рис. 60 приводятся линии тока, окружающие точечный вихрь в точке О (понятие вихря будет в дальнейшем разъяснено). С точки зрения теории дифференциальных уравнений этой особенности поля скоростей соответствует особая точка — фокус. Скорость в точке О равна бесконечности. Наконец, в качестве третьего примера рассмотрим критические точки А ж В разветвления потока около круга (рис. 63). Как показано на рисунке, внешний по отношению к кругу поток соответствует обтеканию круга, а внутренний — течению внутри круга, обусловленному наличием в точке О особенности — диполя. В точках А ж В скорости потока равны нулю, в точке О — бесконечности. Можно заметить, что точки А ж В являются седлообразными особыми точками, через каждую из них проходят только две интегральные кривые. Точка О аналогична узлу с интегральными кривыми, имеющими в точке О общую касательную. [c.34] Трубка тока представляет простой и наглядный кинематический образ, значительно облегчающий изучение движения непрерывной среды. Разбив весь поток на достаточно узкие трубки тока, можно, пользуясь основным свойством трубки — непроницаемостью ее боковой поверхности, изучать бесконечно малые перемещения выделенного объема жидкости вдоль трубки. [c.35] Струей называют часть жидкости, ограниченную поверхностью траекторий точек замкнутого контура. В случае стационарного поля скоростей, когда линии тока не отличаются от траекторий, трубка тока совпадает со струей. В этом случае, разбив поток на трубки тока, можно рассматривать не только бесконечно малые перемещения заключающихся в трубках объемов жидкости, но и движения их в течение любого конечного промежутка времени. [c.35] Такой прием использования трубок тока полезен, например, при обобщении на случай сплошной среды основных теорем динамики. [c.35] Непроницаемость является следствием того, что вектор скорости лежит в касательной плоскости к поверхности трубки тока. [c.35] Другим примером является безвихревое движение, в котором повсюду rot F = 0. Нормальные сечения у трубок тока конечного размера отсутствуют в случае винтового движения, когда rot F X F = 0, т. е. вектор скорости параллелен вектору вихря скорости. [c.36] Вернуться к основной статье