ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сводка наиболее употребительных формул векторного и тензорного исчислений из "Механика жидкости и газа " Методы векторного и тензорного исчислений играют важную роль в преподавании механики сплошных сред, электродинамики и некоторых других разделов теоретической и математической физики, непосредственно связанных с теорией поля. Объясняется это тем, что используемая в этих методах математическая символика полностью отражает и обобщает действительные связи между физическими величинами. За недостатком места нам приходится довольствоваться приведением в настоящем параграфе лишь краткой, преследующей чисто справочные цели сводки употребительных формул векторного и тензорного исчислений в прямоугольных декартовых и криволинейных координатах. Пользование в тексте ссылками на эти формулы (без вывода их) значительно облегчает изложение математической стороны курса и позволяет более выпукло показать физическую сущность его содержания. В сводке применена отличная от основного текста нумерация формул, оправдывающая себя при многократном использовании сводки. [c.14] Учебная литература по векторному и тензорному исчислениям обширна укажем лишь некоторые источники ). [c.14] В книге введены следующие общепринятые обозначения. [c.14] Скаляры даны латинскими или греческими буквами, строчными, иногда заглавными. Шрифт светлый , латинские буквы всегда курсивом, например а, Ъ, и, В, а, р. [c.14] Векторы даны теми же буквами, что и скаляры, но шрифт жирный , например а, , V, V, ое, р. Модуль (величина) вектора обозначается а = а. Единичный вектор (орт) и, направленный вдоль а, записывается как а = аге. [c.14] Знаки математических операций сложения и вычитания обычные. Знак скалярного произведения векторов — точка между сомножителями, например а-Ь. Знак векторного произведения — наклонный крест, например а X Ь. [c.15] Верхний знак в величине определителя ард соответствует сонаправлен-ным системам координат (обе правовинтовые или обе левовинтовые), нижний — противоположному случаю. [c.16] Если при переходе от одной системы координат к любой другой (безразлично, сонаправленной или нет) функция Я сохраняет свое значение, т. е. [c.16] Если в формулах (1.9) при переходе от правовинтовой системы координат к левовинтовой (или наоборот) в правых частях появляется знак минус, то такой вектор именуется псевдовектором, или аксиальным вектором. [c.16] операция векторного умножения двух истинных векторов приводит к псевдовектору, а скалярно-векторное умножение трех истинных векторов — к псевдоскаляру. [c.17] Тензоры обозначаются заглавными латинскими буквами, светлым курсивным шрифтом, например Р, Q, 8, Т компоненты тензоров — теми же буквами с индексами. Число индексов при компоненте определяет ранг тензора. Вектор по числу индексов можно рассматривать как тензор первого ранга, скаляр — как тензор нулевого ранга. В дальнейшем будут применяться тензоры второго ранга, у компонент которых два индекса — Ррд, Qrs и т. д. [c.17] Тензор Г называется сопряженным с Т, если T q = Tqp. Тензор 8, обладающий свойством 8=8, 8pq = Spq, называется самосопряженным, или симметричным, значения компонент такого тензора не зависят от порядка расположения индексов, т. е. 8pq = 8qp. Тензор А антисимжтричен, если А = —А, или Apq = —Apq и, следовательно, Арр = 0 (р = I, 2, 3 суммирование по р здесь не предполагается). [c.17] Аз1=— 13 32=—.423 О Симметричный тензор, в отличие от тензора с таблицей общего вида (II.1), определяется шестью величинами, антисимметричный — тремя, что делает его схожим с вектором (но не тождественным ему). Из трех компонент антисимметричного тензора можно образовать вектор (см. далее (П.7)). [c.18] Знаки операций сложения и вычитания тензоров, умножения тензора на скаляр — обычные. Различные виды произведений двух тензоров обозначаются следующим образом скалярное — точкой между сомножителями, векторное — наклонным крестом, тензорное, а также диадное произведение двух векторов — смежным расположением сомножителей, без знака между ними. [c.18] Диагональные компоненты тензора Зрр называют главными компонентами тензора 8 недиагональные компоненты в главных осях равны нулю. [c.20] Применяемые обозначения. Дифференциальная диада, или дифференциальный тензор D = V = Grad а (условно — градиент вектора а) сопряженная с нею диада O = (V ) = daldr (условно — производная вектора а по вектор-радиусу г) деформация поля вектора а (г) — — def а дивергенция поля тензора Т (г) — Div Т. [c.27] Пользуясь известными значениями коэффициентов Ляме Н , можно получить значения компонент тензора def а и вектора В1у Т в рической и сферической системах координат. [c.30] Вернуться к основной статье