ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры реализации вариационных задач из "Механика сплошных сред " Используя этот функционал, можно сформулировать следующую вариационную задачу найти вид У(х) траектории материальной частицы т, движение которой из точки х=а в точку х=д под действием силы тяжесш осуществляется в наикратчайшее время. Такая траектория называется брахистохроной. [c.268] В дифференциальном исчислении рассматриваются два понятия экстремума локальный экстремум, когда существует некоторая окрестность точки хо, дня которой Y(x) Y xq) (локальный максимум) или Г(х) У(хо) (локальный минимум), и абсолютный экстремум - наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке. [c.268] Сначала рассмотрим вариационные задачи на относительный экстремум. Как и в дифференциальном исчислении исследование начнем с установлжия необходимого условия существования экстремума функционала. Пои(ж экстремума осуществляется на множестве функций, близких к экстремали функционала. [c.269] Исходное предположение о том, что функция У(х) является экстремалью функционала (П2.36), привело к необходимости решения уравнения (П2.40) для определения вида этой функции. Отметим, что вьфажение которое является производной функции J a) по а в точке а = 0, в вариационном исчислении обычно обозначается 67 и в таком обозначении необходимое условие экстремума функционала совпадает с (П2.33). [c.270] Приведем несколько примеров нахождения экстремалей функционалов типа (П2.36). [c.270] Решение. Здесь F(x,Y,Y ) = F +lixT Fy=12x Fyy l, a остальные слагаемые уравнения Л.Эйлера-Ж.Лагранжа равны нулю, поэтому оно принимает вид. [c.271] В некоторых случаях выполнение достаточных условий определяется знаком величины (П2.42) при 6V О функция К(д ) сообщает функционалу (П2.33) минимум, а при SV 0 максимум. В других случаях требуются более сложные исследования на основе достаточного условия К.Вейерштрасса. [c.272] Отсюда ясно, что при К 0 знаменатель больше нуля. Кроме того, из физических 1федставлений о спуске материальной частицы ясно, что в числителе вторая 1фоизводная Y отрицательна. Поэтому в (П2.42) сомножитель S положителен и в целом вторая вариация рассматриваемого функционала (П2.35) больше нуля. [c.274] мы определили абсолютный минимум как минимальное значение функционала, которое достигается на классе функций, непрерывных вместе со своими производными. [c.274] При коэффициентах, удовлетворяющих неравенствам (П2.46), уравнение Л.Эйлера-Ж.Лагранжа имеет единственное решение на отрезке [а, Ь при заданных граничных условиях (П2.47). Обозначим это решение Fo(x) и покажем, что оно дает абсолютный минимум функционалу (П2.45) или, точнее говоря, покажем, что У(Уо) /(У), где Y -любая фушощя из класса D причем равенство имеет место только в том случае, когда функция Y(x) тождественно равна функции Уо(д ). [c.275] Всякую функцию из класса D можно представить в следующем виде У(д )= Yo(x)+Z x), где Z(x) непрерывна вместе с производной Z x) на отрезке а на концах отрезка сама функция удовлетворяет однородным граничным условиям. [c.275] Причем знак равенства будет только в том случае, когда Z(x)=0, т.е. когда функция К(х) равна функции Уо(х), удовлегворяющй уравнению Л.Эйлера - Ж. Лагранжа. [c.275] Таким образом, мы доказали, чго функция УЬ(д ) дает абсолютный минимум (наименьшее значение) функционалу (П2.45) на классе функций D (непрерывных функций с непрерывными производными). [c.275] Абсолютный минимум будем искать в классе функций К(д), непрерывных вместе с производной У(х) и удовлетворяющей граничньш условиям. [c.277] Вернуться к основной статье