ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость сжатого стержня. Приведенно-модульная и касательномодульная нагрузки из "Основы теории пластичности " Полагая, что читателю известны основы теории устойчивости упругих систем, остановимся лишь на деталях, которые не всегда подчеркиваются и существенны для дальнейшего анализа. [c.266] В механике твердого тела вопрос об устойчивости равновесия решается изучением движения системы вблизи исследуемого положения равновесия. Если малые возмущения вызывают движение, расходящееся из окрестности равновесного состояния, то последнее является неустойчивым. Наименьшая нагрузка, при которой система неустойчива, называется критической. [c.266] Этот общий динамический критерий справедлив, конечно, и при изучении вопросов устойчивости равновесия упругих (и упругопластических) систем здесь, однако, использование его связано с большими математическими трудностями. Поэтому вопросы устойчивости равновесия упругих тел анализируются, как правило, при помощи других, более простых, но не столь общих критериев устойчивости равновесия. Обратимся к их краткому рассмотрению. [c.266] Статический критерий устойчивости состоит в следующем. Рассматриваются состояния равновесия, бесконечно близкие к исходному (основному, тривиальному ) состоянию равновесия. При некотором значении нагрузки возможна наряду с основной формой равновесия другая форма. Иными словами, при одной и той же нагрузке могут осуществляться различные формы равновесия (точка бифуркации, разветвления форм равновесия). Подобное состояние и может рассматриваться как переходное от устойчивого равновесия к неустойчивому. Наименьшая нагрузка, при которой возможны различные формы равновесия, называется критической. [c.266] Используя этот метод, Эйлер впервые исследовал выпучивание сжатого упругого стержня. В математическом отношении статический критерий приводит к проблеме собственных значений для линейных дифференциальных уравнений, как известно, хорошо изученной. [c.267] Критическая нагрузка — наименьшая нагрузка, при которой это свойство утрачивается, т. е. [c.267] Энергетический критерий может быть формулирован также в несколько иной форме. В положении устойчивого равновесия энергия Э = Л — А минимальна, следовательно, при всяком малом отклонении от положения равновесия приращение полной энергии Д5 0 или ДП ДЛ. Если при некотором значении нагрузки равновесие перестает быть устойчивым, то ДЭ = 0, т. е. [c.267] В математическом отношении мы имеем здесь задачу о минимуме квадратичного функционала. [c.267] Для консервативных систем статический и энергетический критерии эквивалентны. Дифференциальные уравнения устойчивости, получающиеся при использовании статического метода, являются дифференциальными уравнениями Эйлера вариационной задачи, к которой приводит энергетический критерий. [c.267] Если система не консервативна, то, вообще говоря, справедлив лишь динамический критерий. Простейший пример такой системы— упругий стержень, сжимаемый силой, направленной по касательной к оси стержня (фиг. 178). [c.268] В дальнейшем будем полагать, что внешние силы обладают потенциалом, т. е. что работа внешних сил не зависит от проходимого пути. [c.268] Выше обсуждались критерии устойчивости упругих систем по отношению к малым возмущениям. Ряд вопросов устойчивости упругого равновесия может получить удовлетворительное разрешение лишь при рассмотрении конечных смешений и начальных дефектов формы. Мы не можем здесь касаться этих вопросов, привлекающих в последние годы внимание исследователей, и в дальнейшем будем рассматривать лишь малые возмущения основного состояния. [c.268] В связи с практическим значением вопроса ) широкое распространение получили различные эмпирические формулы, найденные при экспериментальном изучении устойчивости сжатых стержней. Позднее были развиты теоретические приемы анализа устойчивости конструкций, работающих за пределом упругости. [c.268] Пусть при некотором значении сжимающего усилия Р происходит выпучивание стержня в плоскости наименьшей жесткости Oj обозначим через н=м(г) смещение оси стержня при выпучивании (фиг. 180). [c.269] При выпучивании стержень искривляется и получает дополнительные бесконечно малые деформации 8е поскольку стержень тонкий, эти дополнительные деформации следуют гипотезе плоских сечений, т. е. [c.269] На плоскости А, [х граница устойчивости будет, следовательно, гиперболой (фиг. 181). [c.270] Заметим, что результаты, очевидно, не изменятся, если считать ЬР отличным от нуля. [c.270] Вскоре, однако, Ясинский указал, что для реальных материалов при выпучивании часть сечения испытывает дополнительное сжатие, и здесь справедливо соотношение (65.7), другая же часть сечения испытывает разгрузку, протекающую по закону Гука (65.3), поэтому нельзя считать правильной рекомендацию Энгессера. [c.271] В последующем Энгессер и Карман дали решение задачи об устойчивости сжатого стержня за пределом упругости, учитывавшее возражения Ясинского. Приведем это решение. [c.271] Здесь Jj, — соответственно моменты инерции площадей fj, F относительно линии раздела п-п. Величина Е называется приведенным модулем (или модулем Энгессера-—Кармана). [c.272] Вернуться к основной статье