ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задачи о нахождении предельных нагрузок. Одностороннее нагружение клина из "Основы теории пластичности " В ряде случаев невозможно построить решения с непрерывными напряжениями или скоростями. В то же время существуют решения с разрывными напряжениями (скоростями), удовлетворяющие граничным условиям (такие разрывы называются сильными). [c.159] Эти результаты были хорошо известны, однако значение разрывных решений в плоской задаче ускользало от внимания исследователей и лишь недавно было подчеркнуто в работе Прагера [ ]. [c.160] Следовательно, разрыв возможен только в тангенциальной составляющей О . Условие пластичности (33.8), справедливое по обе стороны L, разрешим относительно of. [c.160] По предположению, L — линия разрыва, поэтому в приведенной формуле для значений of, oj следует взять соответственно верхний и нижний знаки тогда скачок в будет 4 j/A — т . Скачок в среднем давлении о=у(о -[-о ) равен 2 —1%. [c.160] Согласно первому из этих соотношений линия разрыва L в каждой своей точке является биссектрисой угла, образуемого одноименными линиями скольжения, которые подходят к Z, с разных сторон. На фиг. 83 показаны элемент скольжения, пересекаемый линией разрыва, и четыре направления линий скольжения а , Р , аГ, встречающиеся в каждой точке L. [c.161] Таким образом, скачок в кривизне линий скольжения является функцией угла наклона касательной к линии разрыва L. [c.161] Нетрудно убедиться в том, что и касательная составляющая непрерывна на L. Линия разрыва, являющаяся предельным положением упругой области, может быть заменена тонкой упругой полоской. В этой полоске напряжения о , т , как это вытекает из уравнений равновесия элемента полоски, почти постоянны тангенциальное напряжение Of изменяется по толщине полоски очень быстро (от к О/), что, между прочим, подтверждает, что рассматриваемая узкая полоска должна быть упругой (ибо условие текучести нарушается). [c.162] Так как v непрерывна на а-линии, к — на р-линии, то легко видеть, что скачок в и (или г ) постоянен вдоль линии разрыва а (или Р). [c.163] Если скачок [гг] 0, то т = если [гг] 0, то х = — k. [c.163] В качестве примера рассмотрим случай входящего острого жесткого угла (фиг. 84 а) здесь ОА, ОВ — линии скольжения вдоль них касательное напряжение равно k, нормальное напряжение равно о. [c.164] Другое требование — положительность скорости пластической работы всюду в поле скольжения. Это условие согласованности полей напряжения и скорости деформации проверить можно, хотя и не всегда просто. [c.164] Момент достижения предельной нагрузки характеризуется мгновенным движением, соответствующим переходу тела из жесткого состояния в пластический механизм . Очевидно, что при этом всеми изменениями во внешних размерах тела можно пренебрегать. [c.164] Полная оценка сделанного предположения требует дальнейших исследований. [c.165] Рассмотрим кратко анализ поля скоростей (см. работу Ли ]) для случая острого клина. Линии раздела АО, O D (фиг. 87) являются линиями скольжения и на них нормальная составляющая скорости и = 0. Вдоль линии разрыва 00 и , = onst ( 40) так как основание клина неподвижно, то в точке О Vy = 0 и, следовательно, г у = 0 всюду на линии разрыва. Пусть на грани 0D задана нормальная составляющая скорости. Разбиваем правую половину клина линиями скольжения на бесконечную последовательность убывающих треугольников (фиг. 87) в каждом из них можно найти поле скоростей, если последовательно решать смешанную задачу ( 39), переходя от треугольника 1 к треугольнику 2 и т. д. При этом на линии разрыва 00 будет найдена составляющая скорости v . [c.167] Перейдем к построению поля скоростей в левой половине клина. В АОО Е скорости определяются решением задачи Коши по известным значениям v , Vy на прямой ОО. Для аО ЕА имеем характеристическую задачу. [c.167] В заключение заметим, что yqpyro-пластическая задача для клина рассмотрена Г. С. Шапиро [ ], равновесие клина из материала с упрочнением по степенному закону изучено В. В. Соколовским [ ]. [c.167] Вернуться к основной статье