ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общее уравнение динамики в обобщенных координатах. Уравнения Лагранжа второго рода из "Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.2 " Т—кинетическая энергия системы. [c.472] Так как 8 , Ьд ,. .., Ьд в случае системы, подчиненной голо-номным связям, являются независимыми обобщенными возможными перемещениями, то общее уравнение динамики удовлетворяется лишь при условии, что коэффициенты, стоящие при возможных перемещениях, равны нулю, т. е. [c.472] Уравнения (1 ) называются уравнениями Лагранжа второго рода ) При наличии голономных связей, наложенных на систему, число уравнений Лагранжа равно числу независимых обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы. Система (1 ) состоит из обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. [c.472] Уравнения Лаграня а первого рода в настоящей книге не рассматриваются. Поэтому ниже уравнения Лагранжа второго рода просто называются уравнениями Лагранжа. [c.472] Полученные выше при решении подавляющего большинства задач динамики системы уравнений могут быть непосредственно выведены с помощью уравнений Лагранжа. Если по условию задачи требуется найти силы реакций связей, то, определив с помощью уравнений Лагранжа ускорения точек системы, применяют принцип освобождаемости от связей к соотве тствующей массе системы с последующим использованием одной из общих теорем динамики либо метода кинетостатики. [c.473] Если при решении задачи динамики отсутствует ясный план применения тех или иных теорем, то следует остановиться на использовании уравнений Лагранжа. [c.473] Все сказанное выше не умаляет значения общих теорем, которыми целесообразно пользоваться при решении ряда простых задач динамики (см. ниже главу XI). [c.473] Задача 407. Вывести дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, воспользовавщись уравнениями Лагранжа. [c.474] Рещение. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы. Действительно, для определения положения всех его точек достаточно задать один параметр, например его угол поворота (р. Выберем р в качестве обобщенной координаты. [c.474] Направим ось 2 вдоль оси вращения твердого тела. Обозначим 4 — момент инерции твердого тела относительно оси вращения,. .., Рп — задаваемые силы. [c.474] Обобщенной силой является коэффициент, стоящий при 8 р в уравнении (2), т. е. [c.475] Задача 408. Вывести дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки, воспользовавшись уравнениями Лагранжа. [c.476] Решение. Свободная материальная точка имеет три степени свободы, так как ее положение в пространстве определяется тремя независимыми параметрами. [c.476] Изобразим систему неподвижных осей декартовых координат и выберем декартовы координаты х, у, г точки в качестве ее обобщенных координат. [c.476] Обобщенной силой является коэффициент, стоящий при За в уравнении (1), т. е. [c.476] Задача 409. Доказать изохронность колебаний циклоидального маятника. [c.477] Решение. Циклоидальным называется маятник, который может быть схематизирован в виде материальной точки, движущейся по дуге циклоиды. [c.477] Покажем, что колебания циклоидального маятника в отличие от колебаний математического обладают свойством изохронности, т. е. его период колебаний не зависит от начальных условий движения. [c.478] Обычное представление о циклоиде связано с траекторией точки А, лежащей на ободе колеса, которое катится без скольжения по прямолинейному рельсу (см. рис. а). [c.478] На рис. б изображено это колесо, катящееся без скольжения снизу по рельсу, расположенному над колесом. Покажем, что движение точки А является колебательным движением, период колебаний которого не зависит от начальных условий движения (конструкция циклоидального маятника будет описана ниже). [c.478] Вернуться к основной статье