ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Граничные условия из "Теплопроводность твердых тел " Если X постоянно, то сравнение решений (3.2), получаемых методами, приведенными в 10 гл. XV, с точными решениями позволяет изучить результаты приближения. В случае переменного х, а также нелинейных граничных условий система (3.2) решается при помощи дифференциального анализатора [13] ). Проведенные исследования показали, что в ряде случаев хорошие результаты можно получить не только для малых значений е так, для пластины толщиной а хорошие результаты получаются при е == а/6. [c.458] Для того чтобы описанный выше метод стал чисто численным, необходимо в системе (3.2) заменить производную по времени разностью. Для этого мы выбираем промежуток времени х и обозначаем v ms, пт) через Ни е, ни X пока не определены, и к их выбору мы вернемся позднее. [c.459] Это и есть требуемое ограничение для х, называемое обычно условием устойчивости. Ясно, что это условие достаточно, но отнюдь не необходимо. В настоящее время имеется много работ, основанных на решениях разностных уравнений, в которых очень тщательно разбирается вопрос об устойчивости ). [c.460] Для иллюстрации этого метода приведем часть таблички значений получающихся при рассмотрении указанного выше случая величины М полагают равными 0,25, 0,5 и 0,6 во всех случаях приводят только числа, соответствующие О /и 5. Результаты, конечно, симметричны относительно т = О ). [c.460] Рассматривая случай уИ = 0,6, находим, что ошибка в одной цифре на единицу в конце концов приводит к большим ошибкам с чередующимися знаками. При практических расчетах такой эффект быстро становится явным. Согласно критерию (3.7) этот случай является неустойчивым. [c.461] В случаях уИ = 0,25 и Ж = 0,5, которые, в соответствии с (3.7), должны быть устойчивыми, из соотношения (3.8) следует, что величины, стоящие в одиннадцатом ряду таблицы для первого случая и в шестом ряду для второго, должны равняться (Юзг) ехр (—т. е. [c.461] Как мы видим, интересующие нас величины при уИ = 0,25 очень хорошо с ними совпадают (имеются лишь небольшие расхождения в последних значащих цифрах). При Ж = 0,5 в таблице чередуются нули и величины, вдвое превосходящие точные значения (можно считать, что это обусловлено таким же общим количеством тепла, сконцентрированным в чередующихся через одну пластинах). Действительно, кривая, проведенная через точки с координатами, равными половине этих величин, служит по мере увеличения п все лучшим и лучшим приближением к точному результату. Если — точки на непрерывной кривой, то наблюдаемые колебания сглаживаются. [c.461] В большинстве практических случаев, когда достаточна точность порядка нескольких процентов, уравнения (3.4) и (3.9) оказываются одинаково пригодными. Их преимущества заключаются в повторяемости очень простых операций, и поэтому эти уравнения очень удобны при использовании как простых, так и сложных электронных вычислительных машин. [c.461] Наконец, следует отметить, что случаи радиального потока в шарах или цилиндрах можно рассматривать почти таким же способом при помощи соотношения (2.17) или (2.15) настоящей главы. [c.462] Мы будем рассматривать здесь только левую граничную поверхность тогда нас будет интересовать область х О и значения при яг = 0, 1,2. Аналогичным образом можно рассматривать и только правую граничную поверхность. [c.462] В случае заданной температуры задается и вводится в систему разностных уравнений функция Как отмечалось в 3 настоящей главы, характер этой функции может влиять на устойчивость уравнений. [c.462] Ни один из этих методов нельзя считать достаточно удовлетворительным, поскольку они требуют экстраполяции функции в область, в которой она может быстро меняться. [c.463] В этом случае г/ 1, , а следовательно, и с о, +i определяются непосредственно, без решения таких уравнений, как (4.2) или (4.3). [c.463] Объединяя его с (3.4), снова получаем для -Uo, л+i линейное уравнение. [c.463] Приведенные выше формулы, а также ряд других рассматриваются в работе [14], где исследовались их устойчивость и точность для случая теплообмена по линейному закону. [c.463] Ряд сравнений точных решений при различных методах рассмотрения граничного условия был сделан в статье [14] для случая теплообмена по линейному закону. [c.464] Вернуться к основной статье