ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Линейный тепловой поток. Полуограииченное твердое тело из "Теплопроводность твердых тел " Мы покажем, что подобную функцию можно с успехом применить и в теории теплопроводности. Мы определяем в этом случае функцию Грина как температуру в точке (х, у, z) в момент времени t, обусловленную действием мгновенного точечного источника единичной мощности, помещенного в точку Р х, у, z ) в момент т, полагая, что начальная температура тела равна нулю и его поверхность поддерживается при нулевой температуре. [c.347] Пусть V — распределение температуры в твердом теле в момент времени обусловленное температурой поверхности ср(л , у, z, t) и начальной температурой f X, у, Z). [c.348] Тройной интеграл берется по всему твердому телу, а е — некоторая положительная, сколь угодно малая величина, меньшая чем t. [c.348] Первый интеграл берется по элементу объема, внутри которого находится точка Р(лг, у, z ). В этой точке функция и в момент времени t = x становится бесконечной. Второй интеграл берется по всему объему тела. [vp]i является значением v в точке Р(х. у, г ) в момент времени t. [c.348] Этой формулой выражается температура в точке (х, у, z ) в момент времени t при начальном распределении температур f x, у, z) и при температуре на поверхности ) ср(х, у, z, t). [c.349] Если на поверхности происходит теплообмен, то мы определяем функцию Грина и как температуру в точке х, у, z) в момент t, обусловленную действием в момент т мгновенного точечного источника единичной мощности, помещенного в точке Р х, у, z ) тела, на поверхности которого происходит теплообмен со средой нулевой температуры. [c.349] Таким образом, найденный нами результат имеет такой же вид, как и (1.1). [c.349] решение общей задачи теории теплопроводности сводится к определению функции Грина для тела, температуру которого требуется найти. [c.349] Физическая интерпретация полученных решений очень проста и вместе с тем очень важна. Так, например, из соотношения (1.1) следует, что температура в момент времени t в теле с начальной температурой / (х, у, z) и температурой поверхности, равной нулю, совпадает с температурой, обусловленной действием в момент = О распределенных по объему тела мгновенных источников, причем в элементе объема dxdydz в точке (х. у, z) выделяется количество тепла, равное рс/(х, у. z) dx dy dz. С физической точки зрения это можно считать очевидным. Аналогичным образом, если в теле выделяется тепло, то температуру можно найти из распределения непрерывных источников по всему объему этого тела. Кроме того, из соотношения (1.1) следует, что температура в момент времени t в теле с нулевой начальной температурой и заданной температурой поверхности равна температуре, обусловленной распределением по поверхности непрерывных дублетов с осями, нормальными к поверхности (см. 8 гл. X). [c.350] В настоящей главе мы определим функции Грина для ряда важных областей и граничных условий. В нескольких случаях эти функции можно написать сразу. Но обычно мы будем пользоваться преобразованием Лапласа. Как отмечено в приложении 1, можно показать, что найденные таким путем функции Грина удовлетворяют требуемым условиям. [c.350] Если функция Грина известна, то решение задачи теплопроводности для заданной области, при заданных граничных условиях и начальной температуре, являющейся произвольной функцией пространственных координат, можно сразу же записать при помощи формул данного раздела. Некоторые из этих решений были уже получены другими методами, но при этом мы каждый раз допускали, что возможно такое разложение произвольной функции, которое требуется задачей. В излагаемом сейчас методе нет необходимости в подобном допущении ). [c.350] Единичный плоский мгновенный источник ) в плоскости х в момент времени t — Q. Теплообмен на плоскости х = 0 со средой нулевой температуры. [c.351] Он дает распределение температур ), обусловленное действием стоков, распределенных вдоль прямой от —х до —оо. [c.352] Вернуться к основной статье