ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ограниченная область 0 х I Применение теоремы обращения из "Теплопроводность твердых тел " ВИЯХ (3.6) и (3.7). Перед тем как перейти к методам нахождения v из v, следует отметить, что более общие дифференциальные уравнения (например, уравнение (10.5) гл. IV) и более общие граничные условия (например (9.14) гл. I) приводят точно таким же путем к обыкновенному дифференциальному уравнению с граничными условиями при а Ь п, следовательно, к величине V. [c.297] Предположим теперь, что вспомогательное уравнение решено при соответствующих граничных условиях и, следовательно, известна зависимость v от р (и пространственных переменных). Тогда требуется по v найти v как функцию времени, что и будет служить решением исходной задачи. [c.297] Проще всего найти v(p) по таблице изображений и подобрать соответствующую функцию ) от t. Таким путем очень просто можно решить целый ряд задач с линейным потоком. Соответствующие примеры приведены в двух следующих параграфах. [c.297] После нахождения решения в виде контурного интеграла (3.8), его обычно можно привести к вещественному виду одним из двух стандартных методов. [c.298] Во всех рассматриваемых здесь задачах можно показать, что интеграл по большой окружности Г при R- o в пределе равен нулю (дальнейшее изложение этого вопроса дано в приложении 1). Таким образом, согласно теореме Коши, интеграл (3.8) равен в пределе произведению 2та на сумму вычетов относительно полюсов его подынтегральной функции ). Этот случай обычно встречается в задачах теплопроводности в ограниченных областях. [c.298] Если функция v(X) не принадлежит ни к одному из указанных выше типов, то для ее рассмотрения должны быть разработаны специальные методы. [c.298] Если Vq(x) постоянно, то легко найти решение (4.1) если Vg(x) — простая функция ) X, то легко получить решение уравнения (4.1) в явном виде если она является произвольной функцией, то уравнение (4.1) следует решать методом вариации произвольных постоянных или каким-либо иным аналогичным методом в конце концов получаются результаты, эквивалентные результатам, найденным в гл. II. Однако в настоящее время полагают, что лучше всего искать решения при помощи функций Грина, применению которых посвящена гл. XIV в ней и будут рассматриваться эти решения. [c.299] Рассмотрим теперь различные граничные условия при д = 0. [c.299] Этот результат был ун е получен ранее (см. (5.1) гл. II). [c.300] Таким же путем, воспользовавшись (19) приложения 5, можно найти решение для случая температуры поверхности, меняющейся по закону (соотношение (5.9) гл. II). Случай гармонического изменения температуры поверхности рассматривается в 7 данной главы, а случай периодического изменения температуры поверхности — в 5 гл. XV. [c.300] Граничное условие третьего рода ). [c.300] Соответствующие граничные условия рассмотрены в примере Е 9 гл. 1, однако решение задач подобного типа отнесено к данной главе, поскольку излагаемые здесь методы особенно удобны для этого. Обозначим через с удельную теплоемкость жидкости, через и — ее температуру, а через уИ —массу жидкости, соприкасающейся с единицей поверхности л = О твердого тела. [c.300] Для таких задач и, в частности, для весьма сложных случаев излагаемый метод особенно удобен. Этим путем можно получить все результаты, приведенные в И гл. П. Для пояснения описанного метода мы приведем здесь несколько дополнительных результатов. [c.302] Частный случай п = — 1, соответствующий выделению в единицу времени количества тепла, пропорционального дает грубое приближение, полезное в задачах, в которых велико выделение тепла в начальный момент (например, при гидратации цемента). [c.302] Так как в таблице изображений величина V, определяемая (5.1), отсутствует, мы получим решение v, воспользовавшись теоремой обращения (см. [c.303] Область О х Z с нулевой начальной т.емпературой. Плоскость J = О поддерживается при нулевой температуре, а плоскость х = 1 при if 0) — при постоянной температуре V. [c.304] Следует отметить, что эти решения для малых значений времени можно также считать решениями для случаев небольших изменений средней температуры (см., например, [18]). [c.304] Аналогичным методом можно воспользоваться при решении задач, приведенных в 11 и 13 гл. III. [c.306] Из теоремы Коши следует, что интеграл по замкнутому контуру равен произведению 2tzI на сумму вычетов относительно полюсов подынтегральной функции внутри контура. [c.307] При линейном увеличении температуры поверхности или ее гармоническом изменении v лучше всего находить непосредственно по v. [c.308] Вернуться к основной статье