ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Методы интегрального уравнения. Рассмотрение задач затвердевания, предложенное Лзйтфутом из "Теплопроводность твердых тел " Термические коэффициенты материала в твердой фазе мы будем обозначать в данной главе через р, с , Ki, v-i, а его температуру через г - соответствующие величины в жидкой фазе мы будем обозначать через р. К , V-2 и г/2- Изменением объема при затвердевании мы везде (кроме примера VIII данного параграфа) будем пренебрегать, и следовательно, плотность р как твердой, так и жидкой фаз окажется одинаковой. [c.277] Условия (2.1) и (2.2) являются граничными условиями, которые в данном случае должны удовлетворяться на поверхности раздела. Легко видеть, что если в области х X будет находится жидкость с температурой V2(x, t), а в области х Л — твердое вещество с температурой v x, t), то условие (2.2) также будет выполняться. [c.278] Помимо условий (2.1), (2.2), (2.5) и (2.6), должны выполняться еще условия на неподвижных границах рассматриваемой области. Ниже приводятся решения нескольких важных задач в случае линейного теплового потока [13, 14]. [c.278] Пусть температура плавления твердого тела равна Т , область х 0 в начальный момент времени представляет собой жидкость с температурой V Ti, а ее затвердевание начинается на плоскости х = 0 и распространяется вправо. Тепло от затвердевающего материала не отводится, и поэтому его температура будет иметь везде постоянное значение Г]. [c.281] Уравнения (2.25) и (2.14) отличаются друг от друга только тем, что здесь переставлены местами термические коэффициенты твердой и жидкой фаз и величины Г, и(1/-Г,). [c.281] Предположим, что в начальный момент времени область х О является твердым телом с термическими коэффициентами Кц, ро. о. и нулевой температурой, а область х О — жидкостью с термическими коэффициентами Къ р, с , xj и постоянной температурой V. Термические коэффициенты К, р, с , затвердевшей жидкости могут отличаться от термических коэффициентов твердого тела в области л 0. [c.281] Это решение было введено Шварцом [15, 16] в качестве лучшего, чем (2.14) — (2.16), приближения для задачи о затвердевании металла, залитого в форму, поскольку термические свойства затвердевшего металла и материала формы сильно отличаются друг от друга. Такое решение может также рассматриваться как фундаментальное решение задачи об охлаждении интрузивных изверженных пород, но в этом случае, поскольку термические свойства горных пород мало отличаются друг от друга, обычно можно считать, что Ко = Ки xq = у., и использовать несколько упрощенные результаты. [c.282] Таким образом, наша задача сводится к задаче, в которой не нужно рассматривать скрытую теплоту, но удельная теплоемкость оказывается переменной. [c.283] Подобные задачи, вообще говоря, можно решать так же, как и пример VII, однако результаты для наиболее важного частного случая, а именно для случая точного совпадения ) начальной температуры жидкости и температуры Т (т. е. наибольшей температуры интервала температур плавления), можно написать непосредственно, положив в соотношениях (2.14) и (2.33) /, = 0. При этом подразумевается, что Сг есть величина, определяемая (2.40). [c.283] Проведенный выше анализ легко обобщить на случай вещества с несколькими температурами превращений или с несколькими интервалами температур, в которых выделяется скрытая теплота превращения. В качестве иллюстрации рассмотрим обобщение примера 1 на случай двух температур превращений. [c.283] Пусть в начальный момент времени в области д О температура постоянна и равна V и при / О поверхность х = 0 поддерживается при нулевой температуре. [c.283] Предположим также, что исследуемый материал имеет две температуры превращения и Т , (К Гг Ti 0), при которых выделяются скрытые теплоты превращений Li и L,. Пренебрегая изменением объема при фазовом перехо з будем считать, что все фазы имеют одинаковую плотность р. При описании фаз в температурных интервалах (О, Т ), (Г,, Т ) и Т , V) мы будем пользоваться соответственно индексами 1, 2 и 3. [c.284] При Pi = Р2 это уравнение сводится к (2.14). [c.285] Для льда р, = О, 17, для воды рг = 1 и из уравнения (2.54) при V — Г, = Г, = 5° получаем Х = 0,116. Это значение сравнимо с величиной Х = 0,115, найденной из уравнения (2.14). [c.285] В данном случае решение можно записать в виде ряда [20]. Для этого X (f) представляют в виде степенного ряда по а г , — в виде двойного степенного ряда (1.13) гл. И. Подставив их в условия (2.1) и (2.2) предыдущего параграфа и воспользовавшись граничным условием при х = О, т. е. [c.285] Некоторые значения температуры поверхности и положений поверхности раздела в этих случаях, полученные с помощью термического анализатора, приводятся в статье [21] ). [c.286] Пусть твердое тело нагревается благодаря поступлению на его поверхность постоянного теплового потока F, причем весь расплавленный материал непрерывно удаляется, например, путем сдувания. Сюда же можно отнести и случай сублимации. Он имеет важное практическое приложение и именно таким, по-видимому, можно себе представить механизм разогревания метеоритов в земной атмосфере. Здесь мы приведем только простое решение для случая стационарного распределения температур [22, 23]. [c.286] Если использовать это значение v, то из (7.1) гл. I следует, что тепловой поток в твердое тело равен нулю и, следовательно, количество тепла, подводимого извне в единицу времени F, должно равняться количеству тепла, отводимого в единицу времени с расплавленным материалом, т. е. [c.286] Если допустить, что термические свойства твердой и жидкой фаз одинаковы, то можно применить другой очень мощный метод. Пусть в момент времени t поверхность затвердевания будет х == X (t) эта поверхность движется со скоростью X (t). [c.286] Следовательно, выделение теплоты затвердевания соответствует движению источника тепла на поверхности x = X t), мощность которого определяется (4.1). Температуру в любой точке можно найти путем введения членов, описывающих влияния этого движущегося источника, а также начального и граничных условий. Тот факт, что на поверхности х = X t) температура всегда должна совпадать с температурой плавления Г,, приводит к интегральному уравнению для X (t) ). [c.287] Вернуться к основной статье