ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Область 0 х I. Границы поддерживаются при нулевой температуре. Начальная температура (х) из "Теплопроводность твердых тел " В настоящей главе мы рассмотрим различные задачи о линейном тепловом потоке в твердом теле, ограниченном двумя параллельными плоскостями (обычно X = 0 и X = I). Эту область мы будем называть для краткости пластина О х I . Полученные нами результаты применимы также к стержню длиной I с теми же условиями на концах при отсутствии теплообмена с его поверхности. [c.97] Соотношение (2.1) по форме полностью совпадает с законом Ома для установившегося электрического тока тепловой поток / соответствует электрическому току, а разность температур Vi — V2 — падению напряжения. Таким образом, R можно назвать термическим сопротивлением пластины. [c.97] Это равносильно утверждению, что при идеальном тепловом контакте между отдельными слоями составной пластины ее термическое сопротивление равно сумме термических сопротивлений отдельных слоев. [c.98] Рассмотрим теперь составную пластину с такими контактными сопротивлениями, что тепловой поток между поверхностями последовательных слое равен произведению Н на разность температур этих поверхностей (см. соотношение (9.20) гл. 1). Здесь IjH можно считать термическим сопротивлением контакта, и тогда полное термическое сопротивление составной пластины равно сумме термических сопротивлений отдельных слоев плюс термическое сопротивление контактов между ними. [c.98] Легко показать, что ряды, полученные почленным дифференцированием ряда (3.5) по л и также равномерно сходятся в указанных интервалах X и t. Таким образом, они равны производным от V. [c.99] Посмотрим теперь, удовлетворяет ли данная функция граничным и начальным условиям. [c.100] Рассматриваемый нами ряд равномерно сходится относительно х в интервале ОX / при О, и позгому он служит непрерывной функцией х в данном интервале. [c.100] Итг = 0 (т. е. величине суммы ряда при х — 1). [c.100] Следовательно, граничные условия удовлетворены. [c.100] Что же касается начальных условий, то мы можем воспользоваться обобщением теоремы Абеля [1]. [c.100] Следует помнить, что физическая задача в том виде, в каком мы сформулировали ее для разрывного распределения температур на концах стержня или в самом стержне, представляет собой идеализированный случай. В действительности же в начальный момент в стержне не может быть прерывного распределения температуры. Решая физическую задачу, мы должны предположить, что происходит мгновенное изменение температуры в стержне в момент, когда мы начинаем измерения в непосредственной близости от точки разрыва или от концов стержня (если они являются точками разрыва). Разрыв температур, таким образом, сглаживается. Наше решение поставленной математической задачи удовлетворяет приведенным выше условиям и можно считать, что оно соответствует и измененной нами физической задаче. [c.101] Представляют интерес следующие частные случаи ). [c.101] В этом случае второй член ряда, полученный из (3.8) для разности температур, обращается в нуль, а третий член ряда, содержащий множитель ехр [—25хл2 /4/2] очень быстро исчезает. [c.103] Приведенные выше решения представляют значительный интерес, так как они дают качественное представление о том, как отводится тепло из пластины при заданном начальном распределении температуры. Из соотношения (3.5) следует, что в первую очередь исчезают более высокие гармоники в ряде Фурье для / (х), оставляя основную гармонику, амплитуда которой уменьшается по экспоненциальному закону. Это фактически подтверждается и соотношением (3.18). На рис. 10 показано уменьшение температуры для четырех различных начальных распределений температур, а именно для постоянного, линейного, линейное + постоянное и параболического распределения. Как мы видим, тепло отводится таким образом, что распределение температур приблизительно косинусоидально. Для случая постоянной на- чальной температуры тепло сначала отводится из области вблизи поверхности при линейном распределении температур — из области вблизи центра при линейном- + постоянном — как из центра, так и с поверхности. [c.103] Вернуться к основной статье