ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Полуограниченное тело с начальной температурой (х) и нулевой температурой поверхности из "Теплопроводность твердых тел " Ниже приводятся некоторые практически важные результаты, полученные на основе уравнения (2.1). [c.61] В 2 настоящей главы отмечалось, что решение Лапласа может принять форму (2.2), которая связывалась с интегралом Фурье для f (х). Указанное решение можно вывести также из интегральной теоремы Фурье. Для этого удобнее всего, по-видимому, использовать преобразование Фурье. Мы приведем здесь краткое изложение данного метода и покажем, как он приводит к решению Лапласа. [c.62] Здесь функции F(5) и /(д ) являются преобразованиями Фурье друг для друга если одна из них известна, то другая следует из соответствующей формулы (3.6) или (3.7). [c.63] Конечно, для обеспечения строгости нашего анализа необходимо провести дальнейшие рассуждения. В книге Титчмарша [7] рассматривается случай, когда f (х) является экспоненциальной функцией. [c.64] Пусть твердое тело ограничено плоскостью х = О и простирается до бесконечности в положительном направлении оси х, причем его начальная температура задана соотношением v — f x), а плоскость - Г = 0 поддерживается при нулевой температуре. Решение такой задачи можно получить из решения, найденного для неограниченного твердого тела. [c.64] что эта величина v удовлетворяет всем условиям задачи о полу-ограниченном твердом теле, ограничивающая плоскость которого поддерживается при нулевой температуре. [c.65] Полученный результат можно вывести непосредственно из выражения (1.3). так как из свойств функции ошибок следует, что она удовлетворяет нашему дифференциальному уравнению, а также начальным и граничным условиям. [c.65] Это позволяет легко сравнивать температуры в различные моменты времени и в различных точках твердых тел, обладающих различной температуропроводностью. Аналогичные результаты справедливы и для часто встречающихся величин скорости охлаждения и градиента температуры в любой точке. [c.66] Из соотношения (4.7) следует, что для любого вещества время, необходимое для достижения заданной температуры в какой-либо точке тела, пропорционально квадрату расстояния этой точки от поверхности тела. Кроме того, время, необходимое для достижения в данной точке заданной температуры, обратно пропорционально температуропроводности. [c.66] В серебре, для которого х=1,72, температура достигает указанной величины на глубине 1 см через 0,64 сек, в висмуте, для которого х = 0,07, это произойдет через 15,7 сек, а в грунте, для которого х = 0,0047,—через 234 сек. Для глубины 10 см соответствующие промежутки времени окажутся в 100 раз больше. [c.66] Наконец, мы приведем некоторые результаты, имеющие большое значение для практики. Их легко получить из соотношения (4.1). [c.67] Это легко получить, вычтя из v = V при х О, О, которое является решением дифференциального уравнения теплопроводности, решение (4.3) для начальной температуры V и нулевой температуры поверхности. [c.67] Вернуться к основной статье