ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Случай сохранения главного момента количеств движения системы материальных точек из "Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.2 " Теорему об изменении главного момента количеств движения системы материальных точек относительно неподвижной оси рекомендуется применять при рассмотрении движения материальной системы, в состав которой входит подвижная среда, врапгаюпгаяся вокруг этой оси. Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно оси равна нулю, то можно получить соотношение между массами материальных точек, их скоростями и угловой скоростью вращения подвижной среды. [c.194] Моментом инерции твердого тела относительно оси называется сумма произведений масс материальных точек, из которых состоит твердое тело, на квадраты их расстояний до оси, т. е. [c.194] Момент инерции твердого тела относительно оси характеризует распределение масс его материальных точек относительно этой оси. Момент инерции всегда положителен. Единица измерения момента инерции кгм сек . [c.195] Теорема Штейнера о зависимости между моментами инерции твердого тела относительно параллельных осей формулируется так момент инерции твердого тела относительно оси равен сумме его момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр тяжести тела С, и произ-ведения массы твердого тела на квадрат расстояния между параллельными осями (рис. 129), т. е. [c.195] Радиусом инерции р твердого тела относительно оси называется величина, произведение квадрата которой на массу твердого тела равно моменту инерции твердого тела относительно этой оси, т. е. [c.195] Если в ходе решения задачи требуется вычислить момент инерции твердого тела относительно оси, не проходящей через центр тяжести, то проводят параллельную ось через центр тяжести твердого тела и применяют теорему Штейнера (при этом момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести, масса твердого тела и расстояние между параллельными осями должны быть известны). [c.195] Если надо вычислить момент инерции материальной системы, состоящей из нескольких твердых тел, причем момент инерции каждого из порознь взятых твердых тел известен, то определяют момент инерции системы относительно некоторой оси как сумму моментов инерции всех твердых тел, входящих в систему, относительно той же оси. [c.196] При вычислении момента инерции однородной плоской фигуры относительно некоторой оси выделяют в плоской фигуре такую элементарную площадь, момент инерции которой относительно соответствующей оси известен, либо легко может быть подсчитан. Затем определяется искомый момент инерции однородной плоской фигуры путем суммирования моментов инерции всех элементарных площадей. [c.196] Задача 286. Вычислить момент инерции и радиус инерции однородного круглого диска веса Р и радиуса г относительно оси L, лежащей в его плоскости и отстоящей от центра тяжести С диска на расстоянии, равном четверти радиуса. [c.196] Задача 288. Вычислить момент инерции относительно оси вращения г вала веса 100 мг и радиуса Ю см с насаженным на него маховиком веса 1 т и радиуса 1 м. Вал считать однородным сплошным цилиндром, маховик — однородным кольцом. [c.198] Решение. Момент инерции системы, состоящей из вала и маховика, равен сумме их моментов инерции, т. е. [c.198] Так как момент инерции вала составляет всего лишь 0,05 Д от момента инерции маховика, то им можно пренебречь. [c.198] Задача 289. Вычислить моменты инерции относительно осей координат X, у, г тонкой однородной круглой пластинки радиуса г, внутри которой вырезан квадрат с длиной стороны, равной г. Центры квадрата и круга совпадают М — масса пластинки без выреза. [c.199] Решение. Момент инерции пластинки с вырезом относительно некоторой оси равен разности моментов инерции круга / и квадрата относительно той же оси, т. е. [c.199] Решение. Проведем на пластинке две прямые, параллельные оси у и отстоящие от нее на расстояниях х и х- -(1х. [c.200] Вычислим момент инерции относительно оси у массы площадки, заштрихованной на рисунке, ограниченной этими прямыми и параболическим контуром пластинки (11у = хЫт, где элементарная масса заштрихованной площади пластинки равна /и =-с 5. Здесь — плотность пластинки, йз — площадь заштрихованной площадки, причем йз = 2у (1х. [c.200] Задача 291. Вычислить моменты инерции относительно осей х, у, 2 однородного круглого конуса массы М, с высотой А и радиусом основания г (см. рисунок). [c.200] Решение. Рассекаем конус двумя плоскостями, параллельными плоскости ху и отстоящими от нее на расстояниях 2 и 2- -й2. [c.200] Вычислим момент инерции массы элементарного объема, ограниченного этими плоскостями и боковой поверхностью конуса. [c.200] Дифференциал объема тела определяем как объем кругового цилиндра с радиусом основания у и высотой г, т. е. йъ = гуЫ2. Следовательно, масса выделенного элемента объема равна йт — = 1(1у = т у с12, где 7 — плотность конуса. [c.200] Вернуться к основной статье