ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Г лава I Обзор постановок контактных задач и методов их решения Взаимодействие оболочки со штампом из "Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения " Оценка прочности элементов конструкций, плотности соединений, повреждаемости их внешних слоев требует постановки и решения задач одностороннего механического взаимодействия тонких оболочек с абсолютно жесткими телами (штампами), упругими основаниями и оболочками. В отличие от двухстороннего взаимодействия, когда контактирующие тела составляют одно целое (что достигается, например, сваркой), при одностороннем взаимодействии реакции связей сохраняют знак или равны нулю. Далее под контактом понимаем только одностороннее взаимодействие, хотя е литературе этот термин часто применяют при решении задач определения напряженно-деформированного состояния (НДС) лишь мысленно отделяемых друг от друга деталей (оболочки, ребер и т. п.). При одностороннем контакте перемещения точек соприкасающихся тел подчинены неравенству — условию непроникновения. [c.7] Впервые задача о контакте упругих тел, первоначально соприкасающихся в точке, сформулирована и решена Г. Герцем. Развитие техники поставило проблему контактного взаимодействия в ряд актуальных задач современной механики деформируемого твердого тела. Сложность этих задач обусловила большое число подходов и математических методов, используемых при их решении. В данной главе приведем краткий обзор состояния проблемы. Основное внимание уделяется оценке возможности использования известных подходов и методов к решению контактных задач для гибких оболочек, а также оболочек из физически 11елинейного материала. [c.7] Обширный раздел теории оболочек составляет проблема контакта тонкостенных элементов конструкций с абсолютно жесткими телами (штампами), упругим основанием и меясду собой. Наиболее полно изучены задачи взаимодействия со штампами пластин и оболочек, НДС которых описано линейной теорией. [c.7] Решением задачи (1.1), (1.2) являются вектор-функция, зона контакта и контактное давление. Если область не задана, задача конструктивно нелинейна. Отметим, что в ряде случаев контактная реакция может содержать сосредоточенные по границе поперечную силу и момент, вектор которого ка-сателен к границе области о). [c.8] Методы математической регуляризации основаны на понятии регуляризирующего оператора [156, 230]. В работах 1106— 108] рассмотрены различные методы регуляризации интегральных уравнений осесимметричных контактных задач для цилиндрических оболочек и проанализирована их эффективность. Установлено, что для интегрального уравнения (1.3) наиболее эффективен регуляризирующий алгоритм Лаврентьева. [c.9] Наиболее сложный этап при решении задач этим методом—выбор параметра регуляризации. Необходимо определить такое К, которое, с одной стороны, делало бы решение устойчивым, а с другой — незначительно искажало бы первоначальное интегральное уравнение первого рода. Для выявления значения К целесообразно использовать априорную информацию о решении [231] как для сужения области поиска, так и для окончательного его выбора. Установлено, что достаточно общим и математически обоснованным методом выбора параметра регуляризации является метод минимизации невязки [230, 231]. При его использовании можно обойтись минимумом априорной информации о решении, но приходится решать дополнительную задачу определения минимума функционала. [c.9] Другой метод физической регуляризации основан на учете в зоне контакта обжатия оболочки по толщине, которым классическая теория пренебрегает. При таком подходе приходим к уравнению Фредгольма второго рода (1.4), но коэффициент К здесь имеет другой физический смысл. [c.10] Термин обжатие оболочки в зоне контакта требует разъяснения. Именно учет изменения расстояния между срединной и внешней поверхностями оболочки в этой зоне под действием контактного давления дает необходимый вклад в уравнение (1.4). Однако обычно для регуляризации задачи вводят фиктивный упругий слой между поверхностями штампа и оболочки. Если такой слой есть в конструкции, математическая постановка задачи адекватна реальной, но введение фиктивного слоя создает впечатление о несоответствии математической модели реальной задаче. [c.10] Представляется все же, что, оставаясь в рамках классической теории оболочек, можем принимать во внимание поаереч-ное обжатие в зоне контакта. Действительно, классическую теорию можно применять, если нормальная нагрузка и контактное давление удовлетворяют одинаковому требованию они должны быть меньше нормальных напряжений в поперечных сечениях оболочки настолько, чтобы в соотношениях закона Гука ими можно было пренебречь. [c.10] Обширные исследования влияния учета обжатия и поперечного сдвига выполнили Ю. П. Артюхин, С. Н. Карасев [9— 17, 132, 133). Метод решения одномерных контактных задач в этих работах основан иа переходе от интегрального уравнения относительно контактного давления к краевой задаче. Сделан вывод, что учет обжатия оболочки контактным давлением играет осрювную роль в приближении их результатов к данным теории упругости, а деформация поперечного сдвига — второстепенную. Выяснено, что обжатие хорошо описывается моделью винклерова основания, благодаря чему при изучении взаимодействия тонких оболочек со штампами можно применять наиболее простую — классическую теорию. Такие же выводы сделаны в работах [195, 253]. [c.11] Широко применяется для решения контактных задач теории оболочек и пластин метод сопряжения, причем область Q разбивается на область Q— со и зону контакта оз. Ищутся решения системы (1.1) для каждой из областей в отдельности, а затем сопрягаются на границе зоны контакта. Необходимо априорное знание границ области со [52, 137, 184] или построение итеративного процесса их уточнения. Метод асимптотического интегрирования (вне зоны контакта) уравнений сферической оболочки в зад.чче о контакте ее со сферическим вогнутым штампом развит в [162]. [c.12] Часто используется так называемый полуобратыый метод [41], заключающийся в том, что распределение контактного давления описывается каким-либо выражением, содержащим произвольные постоянные. Заданные напряжения используются в качестве поверхностной нагрузки для тонкостенного элемента. Для каждой гармоники из уравнений равновесия находят прогиб оболочки, константы определяют из условий контакта. Зная структуру функции искомого контактного напряжения [40, 2641, эффективно применяют полуобратный метод. [c.12] Взаимодействие тонкой оболочки и жесткого бандажа рассматривается в [107, 135, 136] с учетом трения в зоне контакта. Решение строится разложением искомых функщш в степенные ряды по нормальной к поверхности оболочки координате. Подобная задача решается с помощью уравнений теории упругости в работе [252], силы трения учтены в [106, 108]. [c.13] Для решения задач о поведении механических систем с односторонними связями применяют симплекс-метод [215], динамическое программирование [8, 216], а также методы решения вариационных неравенств — локальных вариаций [163— 176, 240], нелинейного программирования [29, 75, 151, 152, 155], последовательного нагружения [241]. Такие методы особенно эффективны для двумерных задач о контакте оболочек со штампами. [c.13] Теоретико-экспериментальный метод решения одномерных контактных задач предложен в [15]. Экспериментальному определению контактных давлений посвящена работа [223]. [c.13] Решений контактных задач, в которых равновесие оболочки описано геометрически или физически нелинейной теорией, в литературе значительно меньше. В основном это исследования Г. И. Львова [163—174]. В них предложена вариационная постановка контактных задач для тонкостенных гибких элементов конструкций на основе физических соотношений деформационной теории пластичности Ильюшина, теорий пластического течения и технических теорий нелинейной ползучести. С помощью математического аппарата вариационных неравенств дано определение обобщенного решения и задача сведена к проблеме минимизации функционала, заданного на множестве допустимых решений. Минимизация функционалов выполнена методом локальных вариаций, поперечное обжатие оболочки в зоне контакта не учтено. [c.13] Задача о контакте гибкой круглой пластины с жесткой плоской плитой решена в [175] итеративным сопряжением решений краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в зоне контакта и вне ее. Деформация поперечного обжатия не принята во внимание, поэтому поперечная сила на границе зоны контакта терпит разрыв. [c.14] В задачах о контакте штампа с элементом тонкостенной конструкции обычно область со априори неизвестна. Тогда на первой итерации вводится допущение о двухстороннем характере связей. После решения задачи в такой постановке и нахождения (Л) избавляются от указанного допущения, исключая из области контакта участки, где условие (1.5) не выполняется. Решение повторяется снова для установленной области (О и так далее до сходимости. Подобный процесс последовательных приближений, основанных на идее спуска в некотором функциональном пространстве [142, 226], получил широкое распространение для решения задач о НДС и устойчивости при одностороннем контакте [41,45,96, П1, 121, 127, 184]. Условие разрешимости интегрального уравнения предложено для определения зон контакта в [48]. [c.14] В работах [119, 120, 123, 127] развит подход к решению контактных задач нелинейной теории оболочек, базируюш,их-ся на исключении из числа неизвестных функций контактного давления 7 с помощью винклеровой связи. Такой учет обжатия оболочки в зоне контакта эквивалентен постановке (1.4), но вместе с тем позволяет избавиться от трудоемкой процедуры численного построения функций Грина и непосредственно находить искомые решения из уравнений равновесия (I.I). [c.14] Вернуться к основной статье