ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые частные решения задач для тонких оболочек из "Балки, пластины и оболочки " Теоретически уравнения равновесия могут быть получены из рассмотрения энергии деформации с помощью методов вариационного исчисления, но, как уже говорилось в первой главе, это будет нелегко сделать, используя громоздкие выражения (6.8) или (6.18) для деформаций кроме того, в этом случае физический смысл будет менее ясен, чем при непосредственном получении этих уравнений, как это будет показано ниже из простопг-рассмотрения условий равновесия. [c.426] Влияние кривизн и деформаций. Поскольку деформации и напряжения определялись через начальные длины и площади, jo при определении-величины сил, приложенных к сторонам малого элемента стенки оболочки, необходимо принять во внимание только его исходную геометрию. Но при подстановке этих сил в условия равновесия необходимо определить их плечи, направление и линии действия, а также их зависимость от окончательной геометрии элемента. [c.426] Соотношения, связывающие напряжения и деформации. Для дальнейшего потребуются соотнойения, связывающие деформации, выражения для которых уже получены, и напряжения для подстановки их в уравнения равновесия. Для случая ynpjo oro материала, который здесь рассматривается, эти соотношения, разумеется, определяются законом Гука. Поскольку направления а и р взаимно перпендикулярны, как и направления х ж у, для которых бы и записаны соотношения (3.5) и (3.14а) — (З.Ид), то можно воспользоваться этими выражениями закона Гука, подставив в них индексы а и р вместо индексов х ш у. [c.426] Единственным, что действительно известно, является-то, что для тонких оболочек напряжения Ог будут малы по сравнению с напряжениями с и Оц. Рассмотрим, например, влияние величины отношения толщины к радиусу оболочки на связь между этими напряжениями. Простейшей проверкой этому является элементарная котельная теория, т. е. случай тонкостенного цилиндра радиуса R, нагруженного равномерно распределенным внутренним давлением р в этом случае среднее окружное напряжение равно. Ш/Юр, тогда как величина поперечного нормального напряжения изменяется от нуля до р. Влияние величины отношения толщины цилиндра к длине полуволны распределенной нагрузки может быть оценено на примере свободно опертой балки длиной I с равномерно распределенной нагрузкой р, в этом случае величина максимально изгибающих напряжений превышает IfhYp, тогда как величина поперечного нормального напряжения также изменяется от нуля JSfl р. [c.427] Выражения для сил Ff,, F и моментов М ,М а можно найти из этих же выражений, заменив а, а ш А соответственно на , Ь и В. [c.429] Возникает вопрос, могут ли эти члены стать существенными, когда часть из этих деформаций значительно больше остальных деформаций, например когда число окружных волн, возникающих при деформациях цилиндрической оболочки, очень мало или очень велико. Но в элементарном случае цилиндрического котла. [c.429] Если воспользоваться значениями А, В, а, Ь, с ш А, взяв их из первой строки таблицы 6.2, то приведенные выражения сведутся к соответствующим выражениям (4.14) и (4.16) для пластин. [c.430] Относительные перемещения и повороты сторон элемента после деформирования. На рис. 6.12, в и 6.12, г показаны соответствующие перемещения и повороты той стороны малого элемента стенки оболочки, на которой они изображены, относительно противоположной стороны. Как уже говорилось ранее, для того чтобы эти выражения можно было использовать в уравнениях равновесия, в них должны входить начальные перемещения и повороты, а также вызываемая ими деформация. Ниже будет показано, как получаются такие выражения. [c.432] Обращаясь к рис. 4.8, который аналогичен рис. 6.12 для частного случая плоских пластин, можно видеть, что все перемещения и повороты содержат только одно приращение dx или dy координат, чему в общем случае соответствует А da или В d . В общем случае выражения для перемещений и поворотов должны содержать те же члены, что и в случае плоских пластин, и некоторые дополнительные члены. Поэтому любые дополнительные члены, содержащие более одного приращения da или dp, можно опустить как малые величины более высокого порядка, которые в пределе обращаются в нуль при стремлении величины приращения к рулю. Поэтому синусы или тангенсы, а также косинусы углов поворотов можно брать равными соответственно самим углам или единице. Поэтому теми частями перемещений, которые содержат деформации, уже включающие в себя одно из приращений координат и любое изменение его, обусловленное кривизной, можно пренебречь, как в слзгяае плоских пластин. [c.432] Перемещения входят в уравнения равновесия только как плечи сил, действующих на противоположных сторонах малого элемента. На рис.-6,13, а показано поперечное сечение элемента и соответствующие силы. Можно видеть, что любое плечо для силы Fa и любая разность между величиной Ada та. плечом силы Ра.1 будет содержать более одного приращения da, поэтому этими членами можно пренебречь. Таким образом, выражения для перемещений совпадают с такими же для плоских пластин (см. рис. 4.8, а), если в последние вместо dx и dy подставляются соответственно Ada и В dp, а в индексах вместЬ х ш у — соответственно а и р. На время в выражениях для перемещений в направлениях аир удерживаются члены (1 + е т) и (1 + ерт), потому что позже при составлении Зфавнения равновесия Ягоментов относительно оси Z большая часть слагаемых взаимно уничтожается и остаются члены, содержащие деформации. [c.432] Как и в случае плоских пластин, остаются неизвестными значения деформаций поперечного сдвига е г и е г, которыми до сих пор пренебрегали в соответствии с гипотезой Кирхгофа — Лява. [c.432] Однако любые члены, содержащие поперечные сдвиги, очевидно, являются несущественными для того случая, когда применима гипотеза Кирхгофа — Лява, за исключением, возможно, задач о потере устойчивости, где эти деформации умножаются на конечные значения сил, вызывающих потерю устойчивости. [c.433] Поворот вокруг оси Р стороны, противоположной стороне oq, относительно стороны oq показан на рис. 6.13,6. На рисунке представлен вид стороны ор малого элемента, содержащей принадлежащую срединной поверхности саму линию ор и нормали к срединной поверхрсти в точках о я р (которые являются угловыми точками для малого элемента). Разумеется, в общем случае сторона элемента не является плоской поверхностью ни до, ни после деформирования, но отклонение от плоской формы поверхности будет пропорционально da, и влияние его на последующий анализ будет малой величиной более высокого порядка. [c.433] Любой начальный поворот вокруг оси а стороны, првтиволе- жащей стороне oq, относительно oq представлял бы кручение, которое здесь равно нулю, поскольку oq является линией кривизны. Соответствующий поворот, связанный с деформированием, несколько труднее поддается анализу, поскольку на этот поворот оказывают Ьлгхяние условия, действующие в трехмерном пространстве, а не в двумерном, как это, по существу, имело место в предыдущем случае. Однако окончательную картину деформирования можно представить в том же духе, что и в предыдущем случае. [c.434] Уравнения равновесия. Представленные на рис. 6.12 соотношения можно теперь использовать для записи шести уравнений равновесия, которые устанавливают тот факт, что суммы всех сил, действующих на малый элемент стенки оболочки в направлении осей а, р и z, а также всех моментов относительно осей а, р и Z, равны нулю. Эти шесть уравнений приводятся в таблице 6.6. Каждое слагаемое, представленное на рис. 6.12, содержит множитель da (слагаемые, содержащие произведения приращений более высокого порядка, от брасываются как малые величины более высокого порядка), поэтому уравнения делятся па этот сомножитель, причем пятое уравнение дел 1тся на —1, шестое уравнение — на АВ. Настолько, насколько это возможно, те члены уравнений, которые представляются главными, ставятся на первое место, а те, которые представляются менее существенными,— на последнее место. [c.437] Вернуться к основной статье