ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Упрощения соотношений, связывающих перемещения и деформации из "Балки, пластины и оболочки " Как уже подчеркивалось ранее, бпшбки, связанные с введением этого допущения, пренебрежимо малы для тонких оболочек из однородного материала- с обычными условиями нагружения, т. е. для оболочек, чья толщина мала по сравнению, с радиусом кривизны и соответствующим радиусом кручения и сравнима с длиной полуволны нагрузки, определяемой как расстояние между узлами или точками изменения знака нагрузки на практике это означает, что толщина также мала по сравнению с такими размерами, как ширина или длина искривленных панелей.-Большая часть представляющих практический интерес задач относится именно к указанной категории задач для Тонких оболочек, которые и рассматриваются в этой и в большей части следующей главы. [c.387] перемещения w вызываются непосредственно нагрузкой. Эти перемещения w вызывают перемещения v, которые в общем случае намного меньше, чем перемещения w. В свою очередь перемещения v вызывают перемещения и, которые намного меньше, чем перемещения у, и поэтому гораздо меньше перемещений W. Однако указанная зависимость определяется размером волны и строго справедлива только в том случае, когда длины волн меньше, чем окружные и другие общие размеры оболочки, что характерно для гармоничесних составляющих деформаций, обычно возникающих в оболочках. В специальном случае, как, например, чистый изгиб цилиндрической трубы, рассмотренный ниже с помощью уравнения (7.3г), когда образуется только одна волна в окружном направлении, а в продольном направлении имеет место волна бесконечной длины, перемещение v может иметь ту жа величину, что и перемещение W. [c.389] Разделение теорий. В предыдущем обсуждении упоминались. классические теории, а не одна классичейкая теория оболочек. Даже в более простом случае плоских пластин было обнаружено, что удобно выделять решения, получаемые на основе допущений Кирхгофа — Лява для специальных случаев, таких, как теории малых и больших перемещений. В случае произвольных оболочек разнообразие чрезвычайно велико так же как и велики серьезные усложнения, обусловленные наличием кривизн необходимые упрощения справедливы только в определенных областях, что дел 1ет целесообразным разбиение оболочек на многочисленные классы. [c.389] В связи со сложностями, появляющимися при учете кривизны, и обсужденными выше трудностями, связанными с тем, что упрощения вводятся на основе интуитивных представленний или на различных стадиях выкладок, здесь исследования тонких оболочек начнем с построения общей теории ) без введения каких-либо упрощений, за исключением использования гипотезы Кирхгофа — Лява. Даже несмотря на то, что впоследствии будет обнаружено, что большую часть этих усложнений можно без всяких опасений исключить даже в самом общем случае, целесообразно, для того чтобы проделать все эти упрощения достаточно надежным и рациональным образом, начать с установления полной картины, с тем чтобы можно было сделать оценки как всем оставленным, так и всем отброшенном членам. Как уже упоминалось в начале книги, этот процесс оказывается не более трудным, чем попытки построения множества специальны теорий на основе интуитивных соображений. [c.390] В то время как точная общая теория может быть сформулирована, что уже делалось ранее, в более компактной форме с помощью тензорных обозначений и тензорного анализа, то же самое можно без труда сделать с помощью более простого математического аппарата, если не шататься отбрасывать промежуточные члены при построении теории в общем виде Более того, это, по-видимому, легче, чем использовать тензорную форму записи, если ставится задача дать полученным уравнениям яоную физическую интерпретацию, причем эти уравнения несложно преобразовать к форме, которая легко применима в практических задачах. [c.390] Для большей части практических задач теории оболочек границы располагаются либо вдоль, либо перпендикулярно к этим линиям симметрии, а отсюда следует, что они совпадают с линиями кривйзны и координатными линиями. Как уже отмечалось ранее, условия, заданные на краях, наиболее лег ш удовлетворяются, когда края совпадают с координатными линиями, и в случае плоских пластин коордийатные системы выбирались Именно из зтих соображений. В случае оболочек использование линий кривизны в качестве координатных линий дает столь большие преимущества с точки зрения упрощений теории, что делает оправданным использование таких координат даже в тех немногочисленных случаях, когда нет возможности сделать так, чтобы они совпадали с граничными линиями. [c.391] Линии кривизны, проходящие через некоторую точку. Поскольку простых геометрических рассмотрений оказывается достаточно для рпределения положения и кривизн линий кривизны в случаях, которые будут рассматриваться здесь, а также и в большинстве практических случаев, здесь не будет приводиться полная математическая теория поверхностей. [c.391] На рис. 6.2, о показаны точка О непрерывной криво-линейной поверхности, являющейся срединной поверхностью оболочки, и прямоугольная система координат с началом в точке О. Возьмем плоскость ху. [c.391] Поскольку порядок применения операции дифференцировапжя не играет роли, то кручение вдоль оси у, определяемое как скорость д/ду изменения в направлении оси у наклона dz/dx в направлении оси X, имеет в одной той же точке О одно и то же выражение и числовое значение. Однако это равенство можно применять только к взаимно перпендикулярным направлениям, таким, как направления ортогональных осей х ж у кручения в точке О поверхности в других направлениях могут быть совершенно различными. Величины, обратные К, ку и f xv, называются радиусами кривизны и кручения в соответствующих направлениях. [c.392] Значения кривизн й и ку поверхности в направлении линий кривизны можно найти, подставив выражение (6.1з) для 0 в первые два соотношения (6.1ж). [c.393] Так как тангенс угла не изменяется от прибавления к углу величины я (или кратной ей), угол 0 + я/2 также должен опреде-лят1 линию кривизны, что подтверждает суш ествование двух систем линий кривизны и их ортогональность. [c.393] Геометрические соотношения между точкавш, принадлежащими стенке оболочки. На рис. 6.3, относящемся к исходному положению, показана точка о (проекция произвольной точки О на срединную поверхность) с ортогональными линиями кривизны, обозначенными через d и р и проходящими через точку о. Будем считать аир независимыми непрерывно изменяющимися параметрами, имеющими постоянные значения соответственно на линиях р и а, и примем значения этих параметров в произвольной точке в качестве координат этой точки. Возьмем а и в качестве координат,точки о, а в качестве координат точек р ш q, л жащих в окрестности точки о на осях а и, р в направлении возрдстания координат, соответственно aj- da, и а, р + dp. [c.394] Такие координатные системы, как прямоугольная декартова или соответствующая цилиндрическая, имеют один и тот же масштаб по всем осям, поэтому расстояния, измеряемые вдоль координатной линии, пропорциональны им при выборе соответствующих единиц измерения и равны разности координат Но сказанное ре будет справедливым для полярных координат или для произвольной ортогональной системы координат. Для того чтобы вычислить деформации, необходимо рассмотреть действительные расстояния между точками. Поэтому введем переменные масштабные коэффициенты А ж R, ъ помощью которых расстояния между точками о ж р, а. также о ш q определяются соответственно как Ada и В d здесь А ж В, также их первые производные полагаются непрерывными функциями от а и р. [c.394] Возьмем правую прямоугольную координатную систему с осями XYZ и началом координат в точке о оси X и У проводятся касательно в точке о к ортогональным осям а и р. Положительное направление осей соответствует направлеиию возрастания а и р, а положительное направление оси Z определяем по правилу правой руки. Эти оси являются фиксированными, поскольку координатные линии а и р связываются с не деформированной срединной поверхностью. [c.394] Аналогичные триады осей строятся и в точках р ж q они не обозначаются, но на рис. 6.3 показаны сплошными прямыми линиями, проходящими через точки р и д. Вследствие кривизны поверхности и связанности координатных линий с поверхностью эти тройки в общем случае будут поворачиваться относительно осей XYZ, т. е. относительно показанных на рисунке пунктирных линий, проходящих через точки р ж q я параллельных осям XYZ. [c.395] Поэтому в качестве углов поворотов триад осей в точке р относительно осей XYZ возьмем, как показано на рис. 6.3, соответственно О, а da и с da а и с вместе со своими первыми производными полагаются непрерывными функциями а и jp и по физическому смыслу представляют собой кривизны поверхности в направлении оси а и линии а, умноженные на А. Функции а и с считаются положительными, когда ось, касательная к линии а в точке р, при повороте стремится к первому кв1адранту Боординат-ной системы XYZ, как это показано на рис.- 6.3. Аналогично взаимной перестановкой р и д, а и Л и 5, X и У, а и Ь, с и d получаем для показанной на рис. б.З трИады в точке g повороты на углы Ь d , О, d d относительно осей XYZ. Ниже для основных ТИПОВ оболочек будут приведены вычисленные значения функций Л, 5, а, Ь, с, d в виде таблицы 6.2. Физическая размерность этих характеризующих геометрию функций будет, разумеется, зависеть от смысла координат а и которыми могут быть, nai-пример, длины или углы. [c.395] До умещения координатами X, Y, Z точки о были О, О, 0. Для точки р координаты Y, Z, а также разность между координатой X и смещением А da можно представить в виде степенного ряда по А da,, где постоянный и первой степени члены отсутствуют, так как линия а касательна к оси X, Поэтому, игнорируя степени более высокого порядка, чем первый, по той же причине, что и указанная выше, й качестве координат X, Y, Z точки р до смещения можно взять А da, О, О, аналогично для точки q берем соответственно О, В d , 0. На рис. 6.4 и 6.5 приведены соответствующие схемы. [c.396] На рис. 6.4 показаны точки о, р я q в смещенных положениях и не представлены их исходные положения. Компоненты перемещений точки о, касательные к линиям сс и fp и нормальные к не-деформированной срединной поверхности, т. е. заданные относительно осей X, У, Z, обозначаются соответственно чере . и, v к w. [c.396] Вернуться к основной статье