ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Толстые пластины. Другие решения, локальные поля напряжений из "Балки, пластины и оболочки " ПО толщине и изменяется по гармоническому закону вдоль края. Такие решения, как было указано, полезны при исследовании случая приложения нагрузки по одной поверхности балки прямоугольного поперечного сечения, когда длина волны изменяющейся по гармоническому закону нагрузки мала по сравнению о толщиной (высотой) стержня (но не мала по сравнению с шириной зтой поверхности, поскольку при этом двумерная теория упругости будет недостаточно точна), в этом случае напряжения на противоположной поверхности балки могут быть настолько малыми, что ими можно пренебречь. Подобные решения, очевидно, удобны также и с точки зрения удовлетворения краевых условий для пластины в этом случае необходимо только,, чтобы длина волны изменяющейся по гармоническому закону нагрузки была мала по сравнению с относительно большой шириной пластины, с тем чтобы напряжения на противоположном крае были пренебрежимо малы. Применение решений (3.32) и (3.33) к подобным случаям, а также и к антисимметричным их аналогам обсуждаются ниже в 5.4 и 5.5. [c.329] Можно также получить и трехмерный аналог решений (3.32) и (3.33), описывающий распределение перемещений и напрян е-ний, вызываемых нагрузкой, изменяющейся по гармоническому закону по поверхности полубесконечного тела. Так же как и в решениях (3.32) и (3.33), напряжения уменьшаются по экспоненциальному закону с удалением от поверхности и становятся бесконечно малыми на расстояниях от поверхности, больших по сравнению с большей из двух длин волн, по которым изменяется нагрузка. Поэтому подобное трехмерное решение может быть использовано при изучении действия приложенной по одной поверхности пластины нагрузки, когда длины воЛн малы по сравнению с толщиной. Такие решения, будучи приближенными, являются более простыми, чем точные решения, так же как для двумерного случая решения (3.32) и (3.33) оказываются. болеё простыми, чем точные решения (3.28) и (3.29) или приводимые в таблице 3.3. [c.329] Решения (5.47а)—(5.47в) можно рассматривать как трехмерный аналог приведенного в таблице 3.3 решения для плоского напряженного состояния без каких-либо последующих аппроксимаций или ограничений на длину волны функции нагружения. [c.332] Решения (5.46а), (5.466), как и (5.47а)—(5.47в), можно записать в форме рядов, подставив Хт = тп/1, Y = пп/1, А = Ата и т. д. и просуммировав результат по m и ге. Подобные ряды можно дополнить, используя вместо косинуса функции синуса от аргументов х ж у или от одного из них. Таким путем распределенные пЪ верхней и нижней поверхностям нагрузки, являющиеся произвольными функциями от а и г/, могут быть представлены в виде бесконечных рядов, и с их помощью вычисляются перемещения и напряжения. Так же как и в случаях, представленных в таблице 3.3, можно полупить и другие решения путем зам ны тригонометрических функций экспоненциальными и наоборот (но все три функции от х, у ж.z не могут быть только тригонометрическими, так же как и только экспоненциальными). [c.332] Возьмем точку приложения к поверхности полубесконечного пространства сосредоточенной нагрузки Р в качестве начала цилиндрической системы координат (рис. 3.5, а) с осью z, направленной по нормали к поверхности внутрь пространства сжимающая нагрузка Р направлена по оси z. Тогда расстояние от любой точки тела до начала координат равно корню квадратному из величины (r + z ) если напряжения пропорциональны отрицательной степени этой величины, то они будут удовлетворять очевидному условию — в этой точке напряжения стремятся к бесконечности и уменьшаются всюду при удалении от этой точки. Основываясь на общем решении 14 (таблица 3.1а), где для осесимметричного случая Ме = О логично предположить, что решения будут иметь вид, при котором бигармоническая функция ф является отрицательной степенью от (г + z ) или некоторой подобной функцией. [c.333] Затем с помощью этой функции и решений 14 (табл. 3.1), а также выражений (3.76) определяются перемещения и напряжения. Аналогичным образом можно получить решение для сосредоточенной тангенциальной силы, приложенной к точке на по-. верхности полубесконечного пространства. [c.335] В силу симметрии задачи вычисления интегралов в выражениях для перемещений и напряжений в точках z = z, г = 0, лежащих на оси z, не представляют труда. [c.335] Нормальная нагрузка, распределенная по круговой области на границе полупространства (общий случай). На рис. 5.10,сс представлен вид из конца о и z на круговую область, по которой равномерно распределена нагрузка, с радиусом Ъ и центром в начале координат О там же показана произвольная точка Q с координатами z, х, для которой необходимо определить перемещения и напряжения, обусловленные упомянутой нагрузкой. В действительности имеют место два случая, которые требуют отдельного рассмотрения случай, представленный на рисунке когда точка Q располагается вне области приложения нагрузки. [c.337] Вследствие того, что 6i является довольно сложной функцией от г, непосредственное интегрирование по г приведенного выше выражения, как правило, невыполнимо. Однако можно легко провести численное или графическое йнтегрирование для любых встречающихся на практике значений х. Результаты, представленные на рис. 5.11, были получены с помощью графического-интегрирования путем подсчета подынтегральных выражений для восьми значений г, построения соответствующей кривой и подсчета площади, лежащей род этой кривой. [c.339] В окоцчательном корректном решении перейти от распределенной к сосредоточенной нагрузке, требуется только к этому решению прибавить поле, представленное на рис. 5.11, б. [c.342] На рис. 5.12 показаны окончательные результаты, где Ро принималось равным 1000. [c.345] Введение. Полагая равной нулю нагрузку в любом из приведенных в 5.2 решений в рядах по функциям нагружения, получим точные решения в явной форме для пластин со свободными от нагрузки поверхностями, которые можно использовать для удовлетворения краевых условий для пластин. Подобные решения, разумеется, полезны для задач, где задана только приложенная к краю нагрузка (такие задачи о плоском напряженном состоянии рассматривались в 3.2, где для них были полу-, чены только приближенные общие решения), а также для соот-, ветствующих задач изгиба с учетом антисимметричной краевой нагрузки. [c.345] Вернуться к основной статье