ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Толстые пластины — решения в рядах с помощью функции v нагружения из "Балки, пластины и оболочки " При обычном применении классических теорий изгиба упругих балок и пластин делаются два важных типа пренебрежений -а) пренебрегается нелинейными эффектами конечных деформаций, т. е. эффектами изменения геометрии исследуемого объекта при развитии деформации б) вводится гипотеза Кирхгофа (т е. пренебрегается поперечными напряжениями и деформациями с соответствующим упрощением граничных условий) и игнорируются условия локального на 1ряженного состояния в окрестности сосредоточенных нагрузок и т. д. [c.288] Пренебрежение типа б) будет изучаться в 5.2, а также и в данном-параграфе. Упомянутые пренебрежения оказываются существенными только для толстых пластин, у которых толщина не слишком мала по сравнению с остальными размерами или по сравнению с длиною участка, на котором нагрузка изл еняет свое направление на противоположное, а также для тех пластан, для, которых вследствие усталостных явлений или потери материалом пластических свойств возникли большие локальные напряжения. [c.288] Напротив, когда изгибаются искривленные пластины, т. е. оболочки, то в их плоскости возникают перемещения и я v срединной потерхности и соответственно мембранные деформации и напряжетия, которые пропорциональны первой степени прогиба и существенны даже при малых прогибах то же справедливо и для плоских пластин с начальными прогибами порядка толщины, так как в действительности- они являются пологими оболочками. [c.289] Резюмируя, отметим, что когда прогибы первоначально плоских пластин достигают порядка толщины, становятся, как правило, существенными нелинейные перемещения и и у, а также результирующие мембранные напряжения, и именно эти случаи будут обсуждаться в данном параграфе. Когда в оболочке развиваются прогибы порядка толщины, то перемещения и и у, а также результирующие мембранные напряжения дзмен ются линейно в зависимости от нагчальной кривизны и нелинейно — от прогибов. При желании можно полагать нелинейные перемещения и мембранные напряжения также зависящими от кривизны, но в этом случае прогибы вызывают не начальную, а текущую кривизну, т. е. полную кривизну в случае плоских пластин и изменение кривизны в случае оболочек. [c.289] Связь мембранных и изгибных напряжений. Как уже говорилось выше, влиянием нелинейных эффектов на кривизну (например, при замене угла наклона поверхности прогибов, т. е. тангенса угла поворота нормали, самим углом и т. д.) можно, как правило, пренебрегать, если прогибы имеют порядок толщины, и это влияние не будет существенным до тех пор, пока прогибы не станут соизмеримыми с другими размерами, такими, как длина или ширина пластины. Здесь не будут рассматриваться задачи последнего типа, но более полное обсуждение количественной стороны этого вопроса будет дано в главе 6. [c.289] ДЛЯ свободного края. [c.290] В аналогичных слзгчаях для выпуклой оболочки, показанной на рис. 5.1, в и 5.1, г, можно заметить в представленном случае тенденцию к расхождению краев или, наоборот, их сближению, если вогнутость направлена вверх, а нагрузка по-прежнему — вниз, причем даже при малых прогибах. Если эти рисунки представляют соответствующие варианты с балками, то балка на рис. 5.1, г будет работать и как арка, и как балка (или, если вогнутость направлена вверх,— и как ванта, и как балка), тогда как балка на рис. 5.1, в выдерживает нагрузку только за счет изгиба. [c.291] Приведенное выражение для w удовлетворяет изгибным краевым условиям (5.1), заданным на краях х = 0, х а, у = 0 и у = Ъ пластины, показанной на рис. 4.13, а коэффициенты Ртп МОЖНО найти с помощью выражений (4.23) для произвольной поперечной нагрузки pix, у). Тогда функцию напряжений Эри ф можно ваять в виде суммы (р = фр + фл частного (parti ular) фр и общего решений однородного (homogeneous) уравнения фл, соответствующего уравнению (4.13). Для того чтобы удовлетворить уравнению (4.13), функция фр должна быть функцией типа произведения косинусов с четными значениями m и п, а в качестве фл можно использовать любое решение однородного уравнения ф = 0, удовлетворяющее мембранным краевым условиям. Для удовлетворения уравнений (4.11), когда учитываются перемещения и я V, функцию и можно взять в виде произведения синуса и косинуса, а у — произведения косинуса и синуса от а и г/ на соответствующие функции интегрирования. [c.292] Линейное решение для этого случая, которое было получено в главе 4 (см. выражение (426)), показано на рисунке пунктирной линией оно, как видно, будет не вполне хорошей аппроксимацией лишь при прогибу, превышающих Wmax = 0,ЗЛ. Линейное решение, полученное из выражения (5.10) при отбрасывании члена, содержащего (м /А) , совпадает с выражением (4.26), когда в последнем удерживается только один член ряда, и их практиг чески невозможно различить на графике. Выражение (5.10) является, без сомнения, даже более чем хорошей аппроксимацией для случая синусоидальной формы нагрузки, для которой оно и строилось, но оно будет недостаточно точным решением для того случая, с которым оно сравнивается. [c.295] Когда панель сжимается в направлении оси х, которую выбирают как вертикальную, в нец возникают равномерные сжимающие напряжения и деформации в этом же направлении, которые увеличиваются до тех пор, пока напряжение не достигнет критического значения, при котором происходит выпучивание панели. Если после возникновения выпучивания продолжать сжимать пластину, то напряжение и, следовательно, деформация в направлении оси х будут оставаться почти постоянными в середине нагруженной стороны. Но вертикальные стороны панели не могут выпучиваться, так как в прямолинейном состоянии их будут поддерживать стержни с пазом или ребра, к которым они фактически прикреплены таким образом, деформация, а отсюда и напряжение в панели вблизи вертикальных сторон будут продолжать увеличиваться при дальнейшем сжатии панели и полная нагрузка, которую сможет выдержать панель, может стать намного больщей той, при которой произошло первичное выпучивание панели. [c.297] Задавая значения величины В, можно легко определить величину А. Характер зависимости этих величин, определяемый соотношением (5.16), представлен на рис. 5.3 нижней штриховой линией, 9 то время как решение С. Леви, полученное аналогичным способом при удержании шести членов ряда в разложении для W и для несколько отличающегося условия текучести, представлено нижней сплошной линией. [c.300] Решение Т. Кармана для приведенной ширины. Задача определения предельной нагрузки для пластины является, несомненно, зддачей о больших прогибах пластины, как уже упоминалось выше. Однако когда эксперименты ) по сжатию тонких пластин в V-образных пазах впервые показали, что предельная прочность пластин из данного материала почти пропорциональна квадрату толщины и почти не зависит от других размеров, Т. Карман получил формулу для определения прочности совершенно иным и гораздо более простым способом, который давал исключительно хорошее совпадение с результатами испытаний. [c.300] Рассуждения Т. Кармана сводились к тому, что для пластин, которые являются очень тонкими по сравнению с другими размерами, нагрузка, которую может выдержать пластина до момента потери устойчивости, пренебрежимо мала по сравнению с нагрузкой, которую могут выдержать две узкие полоски пластины с приведенной шириной X, примыкающие к ее боковым сторонам и искусственно удерживающие ее от потери, устойчивости до тех пор, Пока сжимающее напряжение в них не достигнет предельной величины о, которая может представлять собой наименьшее из двух напряжений критического а = Ог для ребра, к которому прикрепляются стороны пластины, и предела текучести а = Ту материала пластины. [c.300] Вернуться к основной статье