ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Прямоугольные пластины с граничными условиями, отличающимися от свободного опирания из "Балки, пластины и оболочки " Подобно напряжениям а в теории балок, напряжения а с, Уу и Оху, возникающие в поперечных сечениях пластин, ь ожно разделить на постоянные компоненты, аналогичные тем, что имеют место в задаче теории упругости для плоского напряженного состояния и составляют мембранные силы Fx, Fxy и т. д., и ком-поненты7 которые изменяются. по линейному закону, принимая нулевое эначение в срединной поверхности, и которые составляют изгибающие моменты Мх, Мху и т. д. Поперечные силы Fxz и Fyz, как и в случае балок, являются следствием распределенных по параболическому закону касательных. напряжений. [c.210] который описывает жесткость материала балок, в общем случае следует заменять несколько большим по величине модулем /(1 —v 5. Для случая ширбкой балки или пластины со свободными краями, нагруженных так же, как балка, необходимо, как будет показано в 4.5 (см. рис. 4.22), использовать промежуточное между двумя этими значениями модуля. [c.211] О и Р после того, как, возникли перемещения, являющиеся функциями координат х w. у. Можно видеть, что элемент ОР растягивается в направлении оси х, что дает дополнительную, кроме рассмотренных выше, деформацию, возникающую в нем, которая с учетом формулы для биномиального разложения равна Ю Р - ОР)/ОР = [ 1 + Ш/дх)Ч - 1 dw/dxm. Разумеется, в направлении оси у может иметь месго аналогичная деформация, равная (d wldx )l2. [c.213] Последние слагаемые в этих выражениях содержат множитель 2 и представляют собой деформации изгиба (flexural), равные нулю на срединной поверхности и изменяющиеся по линейному закону в зависимости от расстояния z до срединной поверхности будем обозначать эти части деформаций как е /, и е /. Остальные деформации, не зависящие от z, являются мембранными (membrane) деформациями, которые обозначатся как е т, Вут И е ут. Таким образом, имеем ex = ie m + ex/ и т. Д. [c.214] Точная формулировка соотношений, связывающих деремещс-ния и деформации. Приведенный выше вывод ясно демонстрирует, какие из входящих в выражения для деформаций члены являются наиболее важными, но они содержат дополнительно ряд аппроксимаций, основанных на гипотезе Кирхгофа, включая допущение того, чт( различные компоненты деформаций не зависят друг от друга. Предлагаемый точный (но в рамках гипотезы Кирхгофа) анализ деформаций приводит к очень сложным выражениям, которые включают в себя много различных членов, не существенных для большинства практических задач, но более аккуратно их значение изучить мы не в соствянии. [c.214] Теперь МОЖНО вычислить точные координаты точек 0 используя то, что в соответствии с гипотезой Кирхгофа длина о О . остается равной z, а углы р о О и q o O остаются прямыми. [c.216] Решив систему (4.4), выразим разности (u—U) и (у —F) через iw—W), подставим их в соотношения (4.3), вновь решим полученное, в результате уравнение относительно w — W) ив итоге найдем . [c.216] Кроме членов высшего порядка Жалости относительно производных от перемещений, которые были опущены в выражениях (4.6), там были опущены и члены с z , как, например, член d wjdx dyY J2 в выражении для е. [c.218] Третий шаг состоит в получении сил Fx, Fy, Fxy я Fy VI моментов Мх, Му, и Мут относительно срединной плоскости путем интегрирования по высоте поперечнога сечения сил, действующих на малый эле-мент с шириной dz, и моментов этих си относительно срединной поверхности. Вспоминая, что через F обозначены силы, отнесенные к единице ширины поперечного-сечения, получим, что суммарная сила в направлении оси х, действующая по всей стороне элемента, к которому она прило-. [c.220] Деформация элемента, кроме того, слегка смещает и поворачивает линии действия сил и изменяет плечи пар сил, что, разумеется, отражае тся на уравнениях равновесия. Большинство этих перемещений и поворотов не важны для практических -задач, но будет поучительно рассмотреть их, прежде чем игнорировать некоторые из- них. Поскольку движение как жесткого тела не влияет на равновесие, необходимо рассмотреть только перемещения и повороты центра тяжести одной стороны относительно центра тяжести противоположной стороны (рис. 4.8, а). [c.222] На рис. 4.8, а деформации г т, и представляют собой мембранные части соответствующих деформаций е, и т.- е. деформации срединной поверхности. Через Ъхг и обозначены средние значения деформаций поперечного сдвига, т. е. тех деформаций, которые имели бы место, если бы напряжения поперечного сдвига были равномерно распределены по поперечному сечению. Хотя величины деформаций Е г и неизвестны, их можно определить с помощью поперечных сил Fxi и определяемых в первом приближении путем пренебрежения деформациями 8 1 и уг, эти деформации затем- используются во втором приближении (см. выражения (6.236)). [c.223] Для задач, в которых должно рассматриваться влияние перемещений на действие нагрузок, будем считать, что нагрузка р остается нормальной к поверхности и после деформирования, как это было бы в том случае, если бы нагрузка представляла собой давление ншдкости. Нагрузки, которые либо с самого начала, либо после деформирования действуют под некоторым углом к поверхности, могут рассматриваться как комбинация нормальной нагруцди р и касательных нагрузок типа причем предполагается, что направление их остается касательным и после деформирования. [c.224] Следующее, очень важное заключение, которое мбжно сделать из рассмотрения уравнения (4.13), состоит в том, что так как относящееся к мембранным напряжениям частное решение фр связано с поперечным перемещением w через квадраты или попарные произведения соответствующих производных от функции W, эта часть мембранных напряжений демонстрирует влияние больших прогибов или конечных перемещений, которое незначительно, когда прогиб W мал, и становится заметным только при больших. прогибах w насколько при этом велик должен быть прогиб ш, трудно определить из простых соображений, но опыт указывает, что, как и в соответствующем случае балок, рассмотренном в 2.6, эта часть частного решения, описывающего мембранные напряжения, становится существенной только тогда, когда прогиб w становится соизмеримым с толщиной. Следовательно, при u 0,2ft такими мембранными напряжениями можно пренебречь, положив правую часть уравнения (4.13) равной нулю. В подобном случае могут возникать еще и мембранные напряжения, соответствующие плоской задаче теории упругости и вызываемые действующими в плоскости пластины краевыми нагрузками, но это плоское напряженное состояние не будет зависеть от поперечных нагрузок и вызываемых ими прогибов. Таким образом, когда прогиб w мал, два вида нагруженных состояний пластины — мембранное и изгибное, обусловленное поперечным нагружением,— могут исследоваться но отдельности, а затем суммироваться. [c.228] Здесь D — произведение модифицированного модуля упругости Efii — V ) на момент инерции поперечного сечения единичной длины относительно срединной поверхности пластины, в теории балок это соответствует величине EI для балки единичной ширины. Величина D характеризует сопротивление изгибу пластины и называется ее изгибной жестлостью. Подставляя выражения (4.14) в уравнения (4.8) 2 т, = О и S / = 0. получим следующие выражения для поперечных сил я Руг. [c.229] Можно видеть, что уравнение (2.4) для балок является специальным случаев уравнения (4.48) при д/ду == О (т. е. функции не изменяются в направлении оси уУ, за исключением того, что в слзгчае балок подставляется модуль Е вместо E/(.i — v ), так как балки могут свободно распш-ряться или сжиматься в n one-речном направлении. Другие уравнения для балок, как можно убедиться из аналогичных рассуждений, являются специальными случаями соответствующих уравнений пластин. [c.231] На этот раз ограничимся рассмотрением пластин прямоугольной формы, используя прямоугольные координаты. Для пластин иной формы обычно оказывается более удобным использовать такую координатную систему, чтобы одна из координат являлась постоянной вдоль границ, как, например, в случав полярных координат для круговых или кольцевых пластин. Основные уравнения для пластйн в произвольной системе координат можно легко вывести из общей теории оболочек, представленной в главе б, там же можно найти некоторые обсуждения этого уравнения круговые пластины рассматриваются в конце этой главы. [c.232] Непосредственное решение системы двух (4.13) и (4.18) нелинейных дифференциальных уравнений не является простым делом, но к настоящему времени предложен ряд непрямых методов решения типа решения с помощью рядов или энергетических методов. Подобные нелинейные случаи конечного прогиба, так же как и улучшения в рамках малых прогибов классической теории пластин (которые позволяют удовлетворить более полным граничным условиям, чем те, что обсуждались выше и формулировались относительно равнодействующих сил и моментов, а также прогибов срединной поверхности), будут рассмотрены в гл ве 5. В оставшейся части данной главы будут рассматриваться некоторые практические задачи, для которых могут быть использованы линейные решения для малых прогибов, получаемые по классической теории пластин. [c.232] Вернуться к основной статье