ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приложение теории упругости для плоского напряженного состояния к задачам о балках из "Балки, пластины и оболочки " Те члены ряда, для которых р + q i, не описьгеают напряженного состояния и дают самое большее только перемещения как жесткого тела, поэтому они опускаются Первым трем из представленных решений т = 1, 2, 3) соответствует р + q = A, следующим четырем р + g = 5, следующим четырем р + q = 6 и последним четырем р + g = 7 таблицу можно было бы продолжать до бесконечности, но представленных решений достаточно для исследования задач о балках прямоугольного поперечного сечения как с нулевой, так и равномерно распределенной поперечной нагрузкой. Два первых решения тождественно удовлетворяют уравнению У ф = О, третье решение, как говорилось выше, удовлетворяет условию равенства выражения ф произвольной постоянной. Все остальные члены степенных рядов нужно скомбинировать та ким образом, чтОбы было выполнено условие V = О, указанное требование уменьшает число независимых решений до четырех для каждого значения суммы р + q , можно было бы отыскать и другие формы решений, но они представляли бы собой простую комбинацию указанных четырех решений для каждого значения p + q. [c.152] Точно так. же пятое решение (т = 5) соответствует пластине с горизонтально направленными напряжениями, постоянными в горизонтальном и линейно изменяющимися в вертикальном направлениях. Если ось х лежит в горизонтальной срединной плоскости прямоугольной пластины, то этот случай соответствует чистому, изгибу (рис. 3.8,6). Если ось х не проходит через срединную плоскость, то можно считать, что на пластину действует комбинация осевого нагружения и чистого изгиба (рис. 3.8, в). Опять же, как видно из рисунка, нетрудно заключить, что если пластину разбить на два равных прямоугольных элемента, то допущение о линейном изменении напряжений а на концах приводит к постоянному значению напряжения Ох во всех поперечных сечениях, удовлетворяет условию равновесия (за исключением вертикальных компонент напряжений а, обусловленных кривизной, которые в рамках классической теории упругости по-лагаютея бесконечно малыми) и условию плотной подгонки всех элементов друг к другу сказанное можно распространить на любой стержень цилиндрической формы. [c.156] Если тела, подобные показанным на рис. 3.8, а—3.8, в, являются длинными и тонкими и нагружены на концах неравномерно распределенными или линейно изменяющимися (но вместе с тем статически эквивалентными тем, которые рассматривались в теории изгиба балок) силами, то, согласно принципу Сен-Венана, напряжения будут практически такими же, как и в описанном выше случае, за исключением примыкающих к концам областей, длина которых имеет порядок толщины стержня. [c.157] Нетрудно проверить с помощью выражений (2.5) и (2,5а), что выражения для напряжений совпадают с теми, что получаются из классической теории балок, тогда как выражение для Епг при 2 = 0 совпадает с решением, получаемым из классической теории балок и обозначаемым через w в выражении (2.37), хотя вертикальное перемещение. точек, не лежащих в срединной поверхности, содержит дополнительные члены, которые обусловлены деформациями поперечного сдвига и в классической теории балок не рассматриваются. [c.161] Затем подстановкой найденных значений Am, Вт, m, в выражения, приведеннные в таблице 8.3, моя но получить напряжения и перемещения. [c.162] Решение в рядах по функциям нагружения. Упомянутые выше и не рассматриваемые в классической тео,рир балок методы определения перемещений и напряжений являются довольно трудными.Другой тип решения, который особенно удобен для нахождения наиболее существенных поправок к классической теории, состоит в представлении прогибов и напряжений для прямоугольного поперечного сечения балок с непрерывными нагрузками в виде рядов по функциям, описывающим распределение нагрузки по верхней и нижней поверхностям балки ). В Подобных рядах первые -члены дают величины, соответствующие классической теории балок, следующие члены представляют собой наиболее существенные поправки к ним и содержат производные высших порядков от функции нагружения (т. е. детали, уточняющие характер изменения нагрузки), следующие далее члены содержат производные еще более высоких порядков и т. д. Вычисление всех членов ряда позволяет в пределе получить точное решение уравнений теории упругости для плоского напряженного состояния. Это, по существу, является применением общего метода последовательных прибли ний. [c.163] Пусть tz(.x) и ЬЛх) — направленные вдоль оси распределенные силы, отнесённые к единице площади, постоянные по ширине верхней (z—— с) и нижней (z = с) поверхностей балки прямоугольного поперечного сечения высотой й — 2с (рис. 3.10). [c.163] Ряды лучше сходятся для нагрузки, изменяющейся но гармоническому закону, с более длинной полуволной они сходятся тем быстрее, чем больше длина полуволны, так что при l/Ji 1 для получения даже очень хорошей аппроксимации нет необходимости уде жив ть последние члены приведенных выше рядов. [c.167] Более того, эти ряды дают точные, в явной форме решения для любой нагрузки, представляемой в форме степенного ряда от х, поскольку, очевидно, производные от тa oй функции обращаются в нуль. Если проделать, подобно тому как это представлено в соотношениях (2.11), гармонический анализ такого степенного ряда, то, естественно, найдем, что ряд содержит бесконечное число гармонических компонент с амплитудами, уменьшающимися при уменьшении длины I полуволны. Это указывает на то, что простое присутствие гармонических компонент, для которых отношение l/h меньше единицы, еще не означает с необходимостью, что ряд сходится для всех нагрузок в целом сходятся они иди нет, зависит от относительной величины а) 1плитуд различных гармоник, которыми представляется. нагрузка. [c.168] Общие члены, которые были записаны для, таких рядов ), указывают на то, что ряды (3.28) и (3.29) не относятся к числу некоторых довольно экзотических функциональных рядов, последующие члены которых бначам уменьшаются по величине, а затем начинают увеличиваться. Поэтому можно с уверенностью пользоваться полными выражениями (3.28) и (3.29) для любой нагрузки, для которой найдено, что значимость каждого последующего члена постоянно уменьшается вплоть до последних членов, которые являются (или обещают быть) пренебрежимо малыми. Более того, даже если это и не так, можно удерживать в ряде члены вплоть до тех, что взяты в квадратные скобки, и получать при этом значительно более хорошую аппроксимацию, чем по классической теории балок, даже для разрывной функции нагружения (для которой не всегда существуют производные, стоящие в квадратных скобках). [c.168] Вернуться к основной статье