ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Балки с концевыми условиями, отличными от свободно опертых из "Балки, пластины и оболочки " Условия и = О и dw/dx = О могут применяться также и в том, случае, когда закрепления накладываются в промежуточных точках балки. Однако условия, сформулированные относительно поперечной силы F или изгибающего момента для случая промежуточных опор, становятся более сложными, так как величины поперечной силы или изгибающего момента, вызываемых опорами, равны соответственно F или Мх только на конце балки, Для подобных случаев наиболее просто изучать по отдельности части балки, расположенные по обеим сторонам опоры, удовлетворив условиям непрерывности, т. е. прогиб w и углы эаклона dw/dx обеих частей балки у концевых опор одинаковы, а поперечные силы и изгибающие моменты, возникающие обеих частях балки над опорой, находятся в равновесии. [c.64] Балка или пластина из мягкой резины, прикрепленные на конце или крае к стальной стенке, соответствуют простому теоретическому условию закрепления или заделке по границе. Однако если стальная балка или пластина цриварена к стальной стенке, то изгибные нг пряжения, возникающие в стенке, почти не изменяются сначала, а затем на расстоянии порядка толщины h рассеиваются и становятся малыми. То же справедливо для защемленного конца, но в этом случае в дополнение к деформациям в месте защемления должно возникать некоторое проскальзывание на защемленном крае, где концентрация напряжения теоретически была бы бесконечной, если бы не было проскальзывания. [c.65] Влияние моментов трения в шарнирных опорах аналогично уменьшению длины балки или размеров пластины или оболочки, тогда как влияние деформаций или проскальзывания в опорах типа защемления аналогично увеличению длины или размеров на величины, изменяющиеся в диапазоне от близкого к нулю значения для шарниров, свободных от трения, или для балки из резины, опертой на стальную стенку, до, вероятно, максимального значения, равного npnliiepno половине толщины (или толщине при учете опор на обоих концах). [c.65] Математические решения. Уравнения (2.4) и (2.4а) приобретают различные формы, требующие различных типов решений, к( да они применяются к различным физическим задачам. Эти решения будут упоминаться при обсуждении соответствующих задач, но некоторые общие замечания могут быть полезны и здесь. Эти замечания будут посвящены линейному случаю, т. е. тому случаю,, когда степени больше единицы и произведения функции W или ее производных ве рассматриваются, хотя иногда возможно непосредственное получение решений нелинейных уравнений, некоторые случаи которых обсуждены в 5.Ч, по гораздо чаще приходится прибегать к другим методам, подобным энергетическому. [c.66] Для целей обсуждения решений члены уравнений (2.4) или ( .4а) можно разбить на два типа зависящие от ш и не завися-пще от W. Первый тип содержит первый и третий члены уравнения (2.4) и некоторую часть нагрузки р, котора изменяется в зависимости от w подобно распределенным реакциям, которые действуют на балку, лежащую на упругом основании, или инерционным силам в задачах поперечных колебаний, которые пропорциональны второй производной от W по времени. Второй тип содержит ту часть нагрузки р, которая представляет собой поперечные нагрузки, приложенные таким образом, чтобы их ве личина могла считаться независимой от прогиба. [c.66] Затем в самом общем случае решение может быть представлено как сумма двух решений 1) частного решения, которое удовлетворяет уравнению в целом, т. е. любое выражение для w, которое после подстановки в члены, содержащие ш, позволяет сумме с членами, не содержащими w, получить нуль 2) решения однородного уравнения, получаемого отбрасыванием членов, которые не зависят от w, т. е. выражений для w, которые после подстановки в члены, содержащие w, обращают их сумму в нуль. [c.66] Если W функция более чем одной независимой переменной, например а и г в динамической задаче для балок или х ш у ъ статических задачах для пластин и т. д., то разрешающее уравнение в частных производных в общем случае монфт быть решено путем разделения переменных, например путем задания прогиба W как произведения экспоненциальной на тригонометрическую или экспоненциальную функцию от различных переменных. Например, в динамических задачах для балок прогиб w можно задать в виде произведения функций синуса или косинуса от t и неизвестной функции Х х) только от переменной х. Тогда, поскольку присутствуют только четные производные по t, все члены будут содержать эти функции синусов или косинусов в качестве общего множителя, после сокращения которого остается обыкновенное дифференциальное уравнение для функции Х х), которое может быть решено так, как это было описано выше. [c.68] Напряжения изгиба можно выразить через изгибающие мо-. йенты Afj, и Mi, воспользовавшись уравнением (2.7). Угол naiuto-на нейтральной оси можно найти, положив равным нулю г, ш уравнении (2.7), откуда уравнение угла найлона принимает вид z/y = - d v/dxy d w/dx = (MJ, - - Myh). [c.69] В ЭТИХ ПЛОСКОСТЯХ, то их МОЖНО разложить на составляющие, действующие в этих плоскостях. [c.70] С помощью выражения (2.12) можно найти прогиб w x) для любого вида распределения нагрузки р х), а также продольные изгибные и касательные напряжения по формулам (2.5) и (2.5ii). [c.73] Если испол ьзовать первый член ряда, получим w = = Vp,)/Eh )/6,S8. Точное значение числа в знаменателе — 6,4, так что значение, полученное с использованием одного члена ряда, только на 0,4% превышает точное при использовании двух членов получаемое значение настолько близко к тонкому, насколько этого можно достичь с помощью логарифмической линейки. [c.74] Для приведенного выше ряда 1—1/3 + 1/5 —. .. известна го сумма 5я /1536, откуда непосредственно сле ет точное значение для максимального прогиба. Многие решения в форме рядов, которые будут получены или могут быть получены методами, которые будут описаны ниже, имеют известные выражения для суммы (их можно найти в курсах по теории функций или в еправочниках), которые превращают эти решения в явные. Однако из опыта автора следует, что при проведении численных исследований рядов, которые будут в дальнейшем рассмотрены, требуемую точность в большинстве случаев можно получить, оце- ив несколько членов ряда и обрезав ряд, когда последующие члены становятся пренебрежимо малыми, что требует меньше времени, чем попытка вычисления или -нолучения оценок для суммы ряда. [c.74] Используя только один член этого ряда, получим 1Сп ж = = Pl /(i8,7EI), что на 1,5% ниже точного значения при дву членах — ниже на 0,3% и т. д. [c.75] При малых перемещениях такие колебания с различной частотой могут быть наложены друг на друга, а математически это можно описать с помощью ряда (2.18) (выражающего признак суммирования), приравняв, как это делалось в соотношении каждый коэффициент ряда, стоящего в левой части равен-втва (2.19), соответствующему коэффициенту ряда, стоящего вправа, как это было сделано с уравнением (2.9). Однако по существу это означало бы скорее наложение отдельных явных решений, чем решение в рядах типа обсуждавшегося ранее, где 1фвбуется, чтобы все члены ряда вместе давали одно решение. [c.76] Продольно сжатый стержень с начальными искривлениями. [c.77] Вернуться к основной статье