ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Построение общего решения в неосесимметричном случае из "Гармонические колебания и волны в упругих телах " Появление связи между различными типами движений приводит к исчезновению кратных частот и видоизменению структуры спектра. При этом мы имеем типичную для связанных колебательных систем [ПО] картину расталкивания спектральных кривых, такую, как в зоне, выделенной на рис. 75 контуром L. [c.220] Взаимодействие краевой моды (кривая Е на рис. 84) с системой кривых, соответствующих планарным колебаниям (7 -модам), рассматривалось выше. При изучении спектральных кривых для колебательных систем со многими степенями свободы установлено, что расстояние между ними в зонах расталкивания пропорционально степени связанности между парциальными системами. Один из интересных результатов, полученных в 3 данной главы, заключается в том, что в случае взаимодействия планарных движений с краевой модой прямая пропорциональная зависимость между величиной коэффициента Пуассона, как возможной характеристикой величины связанности двух указанных типов движений, и расстоянием между спектральными кривыми не прослеживается. Более того, при определенном значении v фО снова возникают кратные частоты (пересечение спектральных кривых), соответствующие планарным и краевой модам. [c.220] В точках трехкратного вырождения спектра процесс расталкивания разнородных мод с увеличением v имеет более сложный характер. Этот процесс происходит по-разному для первой точки трехкратного вырождения, через которую проходит ветвь, соответствующая краевой моде, и остальных точек [94]. [c.221] На рис. 90 показан участок спектра, характеризующий изменение его структуры с изменением v в остальных точках трехкратного вырождения. Случай v = О показан штриховыми линиями, а сплошными линиями изображен спектр при v = 0,02. Данные рис. 90 относятся к третьей точке вырождения, в связи с чем все моды отмечены индексом 3. Здесь принят такой же способ обозначения различных мод, как и на рис. 85. [c.221] При ЭТОМ возможна следующая трактовка картины. В результате взаимодействия планарных движений с тол-щинными происходит расталкивание соответствующих кривых (на рис. 90 кривые 5 и 7), как и в случае двукратного вырождения. Однако в отличие от последнего случая в образовавшейся зоне между указанными кривыми проходит линия, в определенной мере наследующая свойство соответствующей кривой третьего семейства в случае v = О (кривая б). [c.222] Если для первой точки (см. рис. 89) при переходе к случаю v Ф Ф О спектральная кривая не обнаруживает заметного изменения при переходе через частоту й/, то в рассматриваемом типичном случае третьего узла кривая Ад претерпевает существенную деформацию. Соответствующий этой кривой тип движения уже обнаруживает связь с чисто толщинными и радиальными движениями в диске. Причем важной частью деформированной спектральной кривой Аз является практически горизонтальный участок TAg на частоте Q/. [c.222] Для завершения исследования структуры спектра при v Ф О в окрестности частоты Q/ необходимо осуществить классификацию участков спектральных кривых по однотипным формам колебаний. Именно исследование генезиса наблюдаемых здесь форм колебаний с точки зрения их связи с чистыми типами движений npnv = О и завершает в определенной мере исследование особенностей тол-щинного резонанса диска. [c.222] При анализе форм колебаний, соответствующих спектральным кривым разных семейств в окрестности частоты Q , уже недостаточно следить только за рельефом плоских поверхностей диска. Это связано со следующими данными, относящимися к типичному участку спектра, показанному на рис. 90. [c.222] Значительное различие между формами колебаний, соответствующими, например, точкам б и С, обнаруживается при анализе распределения по толщине диска факторов, характеризующих напряженно-деформированное состояние. Наиболее ярко различие проявляется здесь в распределении по толщине радиальных смещений г и напряжений сте. На рис. 93 показано распределение по толщине нормированной величины в сечении г = 0,5. Слабая изменяемость по толщине величины щ для точки В свидетельствует о близости ниспадающего участка кривой 5 на рис. 90 к соответствующей гиперболе ( з-мода) в случае v = 0. Изменение щ в точке С явно указывает на преобладание в форме колебаний толщинно-сдвиговых движений, что позволяет считать ниспадающий участок кривой 6 на рис. 90 наследующим свойства Лд-моды. [c.223] Таким образом, можно предложить обоснованную классификацию мод колебаний и в случае v = 0. Она и показана на рис. 90 при названии участков различных ветвей. [c.223] Более глубокое представление об особенностях толщинно-го резонанса можно получить, анализируя формы колебаний, соответствующие различным плато. Здесь, естественно, наибольший интерес представляет рельеф плоских поверхностей диска. Объектом исследования должно быть как различие между формами колебаний соседних плато, связанных с R- и Л-модами (далее называемые TR- и ТА-плато соответственно, рис. 90), так и различия в формах колебаний для однотипных плато, соответствующих разным значениям v. Кроме того, интересно проследить за изменением формы колебаний в пределах одного плато. [c.224] На рис. 94 представлены данные о величине для всех характерных с этой точки зрения случаев, полученных при v = 0,02. Уже такой незначительной связи между различными типами движений достаточно для того, чтобы существенно усложнились формы колебаний по сравнению со случаем v = 0. Кривая 1 на рис. 94 характеризует распределение в точке R = 5,40, й = 1,4290 (см. рис. 90), соответствующей центру ТЛд-плато. Такой рельеф поверхности существенно отличается как от наблюдаемого в точке С на этой же кривой (рис. 90), так и от чисто поршневого движения, которое можно было бы ожидать на толщинном резонансе. Смещаясь по плато к его краю, при незначительном изменении собственной частоты наблюдаем существенное изменение формы колебаний. Если в центре плато в 2 отсутствовали противофазные участки, то на краю его они появились. Распределение щ по радиусу для R = 5,51, й = = 1,4375 представлено на рис. 94 кривой 2. Почти такой же сильной изменяемостью по радиусу характеризуется в форме колебаний, соответствующей краю Т Т 4-плато (кривая 3, R = 5,51, й = 1,4300). Четко выраженная неравномерность в распределении по радиусу диска прослеживается во всех зонах вблизи краев ТА- и TR-плато. Особенно ярко это свойство форм колебаний проявляется при сравнении их с формами, характерными для центров Т/ -плато. [c.224] На рис. 94 соответствующие рельефы плоских поверхностей представлены кривой R = 6,50, й = 1,4290 — центр 7 4-плато) и кривой 6 (R — 8,50, Q = 1,4290 — центр Г б-плато). Здесь мы имеем практически поршневое движение. [c.224] Располагая хотя бы при малых значениях v систематизированными данными о формах колебаний на частоте толщинного резонанса, можно попытаться провести их качественное сопоставление с экспериментальными данными [260, 261, 264] о рельефе плоских поверхностей колеблющегося диска. Приведенные в указанных работах многочисленные данные о рельефе поверхностей пьезокерамических дисков характеризуются сильной изменяемостью по радиусу и качественно хорошо согласуются с кривыми типа /, 5, 7 на рис. 94. Экспериментальные данные получены в широком диапазоне изменения радиусов дисков, однако в них не обнаружено ни одного резонанса с почти поршневым движением плоской границы диска, подобным кривым 4 и 6 ва рис. 94. В рамках введенной терминологии это свидетельствует о том, что в экспериментах не наблюдались резонансы, связанные с Г -плато. Это примечательное свойство объясняется следующим образом. [c.225] После анализа форм колебаний, возбуждающихся на частотах толщинного резонанса, следующий важный вопрос связан с изучением 5-мод, обнаруженных при рассмотрении случая v = 0. По аналогии с относящимся к этому случаю рис. 85 на рис. 82 выделены участки спектральных кривых, которые можно объединить как относящиеся к 61-моде. Обоснование такого объединения указанных участков спектральных кривых следует из анализа форм колебаний на частотах, принадлежащих центрам этих плато. [c.226] Распределение по радиусу нормированного смещения для середин четырех 1-плато представлено на рис. 96, где кривым 1— 4 соответствуют следующие значения геометрических и частотных параметров R = Q,0 7,7 9,4 11,2 Q= 1,4571 1,4705 1,4788 1,4843. Между приведенными характеристиками форм колебаний, очевидно, существуют определенные различия. Однако практически полное тождество соответствующих форм колебаний в этом случае и в случае v = О (см. рис. 86) является решающим для объединения указанных плато в одну Б -моду. [c.226] Таким образом, анализ спектральных кривых и форм колебаний диска на основе классификации типов движений, введенных при рассмотрении случая V = О, позволил четко систематизировать осесимметричные моды диска на частоте толщинного резонанса и выделить особый вид движения — Б-моды. Этим не исчерпывается полностью вопрос о систематизации всех спектральных кривых в высокочастотной области. В частности, остался неисследованным вопрос о взаимодействии R- и /4-мод как выше, так и ниже частоты толщинного резонанса. [c.226] Полученные данные об особенностях форм колебаний диска в окрестности частоты толш нного резонанса могут стать основой для выбора формы электродов на плоских поверхностях пьезокерамического резонатора с целью повышения эффективности электромеханического преобразования. При этом, однако, возникают не только чисто вычислительные трудности, но и трудности, связанные с выбором материалов и технической реализации соответствующих устройств [133, 262]. [c.226] Характер выкладок, связанных с удовлетворением граничных условий с помощью выражений (1.8), идентичен в обоих случаях симметрии. Поэтому ниже описывается решение задачи только для симметричного случая. Антисимметричный (изгибный) случай достаточно подробно рассмотрен в работе [69]. [c.227] Следующий шаг по пути к установлению асимптотических свойств неизвестных в системе (7.4) связан с предположением о том, что особенностью вида (7.6) обладают порознь составляющие общего решения, представленные в (1.8) рядами по / и п. [c.229] Вернуться к основной статье