ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Толщинные колебания диска с нулевым коэффициентом Пуассона из "Гармонические колебания и волны в упругих телах " Как уже отмечалось, первое экспериментальное наблюдение краевого резонанса в тонких пьезокерамических дисках описано в работе [264]. В 1957 г. аналогичная по свойствам мода была описана в работе [241] в связи с экспериментальным исследованием поведения длинных стальных цилиндров. Автор этой работы наблюдал резонансные колебания на формах, характеризующихся относительно большими значениями радиальных перемещений вблизи угловых окружностей. Собственные частоты таких форм практически не зависели от длины цилиндра. [c.204] В работе [226] указывается на возможность использования явления краевого резонанса для точного определения коэффициента Пуассона материала при известной скорости сдвиговых волн. Недостатки предлагаемой методики будут видны при анализе спектра собственных частот цилиндра для разных v. Второй способ практического использования краевого резонанса авторы работы [2261 видят в возможности быстрого образования усталостных трещин в зоне торцов цилиндра. [c.204] Здесь видна явная тенденция к увеличению частоты краевого резонанса с ростом R. В связи с этим следует указать, что частота краевого резонанса для бесконечной прямоугольной призмы, находящейся в условиях плоской деформации и с отношением сторон, равным R, заключена в интервале 1,483 1,484. Отметим, что тенденция к повышению частоты краевого резонанса при увеличении относительного радиуса диска наблюдалась экспериментально [195] на дисках из существенно анизотропного материала. [c.205] Перейдем к анализу форм колебаний в окрестности частоты краевого резонанса. На рис. 76 показано распределение по торцу Z — h осевого смещения в диске с величиной R — 6,25 при Q = = 1,47. Имеем типичную картину, характерную для краевой моды. [c.205] Особый интерес в спектре собственных частот диска представляют зоны, одна из которых выделена на рис. 75 кривой L. Вследствие связи между разными типами волновых движений в диске здесь наблюдается повышенная чувствительность мод колебаний к изменению геометрии. Поскольку эти зоны лежат в области частот Q Q, то в данном случае речь идет о связи между первой распространяющейся модой в слое и системой нераспространяющихся мод. [c.205] Как и в случае прямоугольника, в диске существуют специфические формы колебаний, связанные с распространением сдвиговых SV-волн. Эти моды колебаний называют модами Лэмба [208], хотя о них говорилось еще в работе Кри [168]. [c.207] Следовательно, частоты Ql = (2/— 1) 1 2 являются собственными для дисков с определенными значениями R (I, т), где т — номер корня трансцендентного уравнения для р. Наличие этих мод колебаний, как и в случае прямоугольника, можно использовать для оценки точности алгоритмов расчета собственных частот и форм колебаний. Важно и то, что значение собственных частот мод Кри — Лэмба не зависит от коэффициента Пуассона v, и это можно использовать следующим образом. [c.207] Важной особенностью форм колебаний в этом случае является то, что краевая мода полностью сохраняет свои свойства, несмотря на то что собственная частота является краем плато. На рис. 80 для диска с величинами R = 5,434, v = 0,235 и Q = 1,414 показано (кривая 1) распределение осевых смещений по торцу цилиндра при возбуждении колебаний равномерной по всей поверхности нагрузкой. Мода Кри — Лэмба такой нагрузкой не возбуждается. Кривая 2 на рис. 80 характеризует распределение осевых смещений в моде Кри — Лемба. [c.208] Говоря о краевом резонансе, мы постоянно имеем в виду тий движения, симметричного относительно срединной плоскости диска (планарные движения). Использованный для расчетов метод в одинаковой мере пригоден и для исследования антисимметричных (из-гибных) движений [40, 41, 49]. Наиболее интересным выводом из анализа расчетных данных в этой области частот, где имеем только одну распространяющуюся моду, является вывод об отсутствии краевого резонанса, связанного с изгибной деформацией пластины. Обращая внимание на это различие в структуре спектра конечного тела для двух типов симметрии движения, естественно обратить внимание и на различие в характере дисперсионных кривых для симметричных и антисимметричных волн в бесконечном слое. Существенное различие между указанными случаями проявляется в том, что во втором из них в рассматриваемом диапазоне частот существует чисто мнимый корень дисперсионного уравнения Это замечание следует рассматривать не как объяснение принципиального различия в динамическом поведении диска при растяжении и изгибе, а лишь как указание на возможные причины такого различия. [c.208] Описанное выше явление краевого резонанса для тонкого диска так же четко проявляется и при анализе форм колебаний длинных цилиндров. При этом краевая мода характеризуется сильно выраженной локализацией области интенсивных движений вблизи торцов. В спектре собственных частот цилиндра (зависимости Qj от h) таким модам соответствуют плато, подобные указанным на рис. 75. Важно отметить, что в этом случае краевой резонанс в одинаковой мере проявляется как для симметричных, так и для антисимметричных относительно плоскости г = О движений. Это естественно, поскольку оба типа деформации связаны с волновыми движениями, описывающимися одним дисперсионным уравнением Похгаммера — Кри (9.3) главы 4. [c.208] Интересная особенность спектра собственных частот длинного цилиндра состоит в том, что центры каждого плато краевой моды симметричного типа движений соответствуют значениям h, лежащим на краю плато для антисимметричных движений. Именно это дает возможность качественно проанализировать данные обширного и тщательно выполненного эксперимента на длинных цилиндрах из различных материалов [166]. [c.209] В такую схему почти полностью качественно вписываются экспериментальные данные работы [166, табл. 2—4] в диапазоне частот, существенно не превышающих частоту Исключение составляет найденный в эксперименте дублет при Qj = 2,556, который нельзя предсказать в рамках модели идеально упругого тела строго круговой цилиндрической формы. [c.210] Для полноты иллюстрации возможностей как экспериментальной техники, так и предложенного теоретического способа определения собственных частот проведем количественное сравнение расчетных данных с данными табл. 2 работы [166]. Для стального стержня (v = 0,29) с параметрами 2Н = 8,885 см, 2а = 0,953 см, h — = 9,323 существует триплет со следующими значениями частоты Qf = 2,880 (2,881), = 2,921 (2,920), = 2,935 (2,931). Здесь в скобках приведены экспериментальные данные. [c.210] Отметим, что авторы работы [166] для объяснения полученных результатов использовали аппроксимацию волнового поля в конечном цилиндре первой распространяющейся модой бесконечного, цилиндра. Такой подход позволяет довольно точно определить собственные частоты не только ниже, но и несколько выше (вплоть до появления второй распространяющейся моды в бесконечном цилиндре) частоты краевого резонанса, однако наличие плато в спектре предсказать нельзя. [c.210] Отметим, что проведенное в области частот до появления второй распространяющейся моды сопоставление расчетных и экспериментальных данных для других рассмотренных в работе [1661 случаев обнаруживает столь же хорошее совпадение результатов. Вместе с тем сопоставление в области частот, где имеется уже несколько распространяющихся мод, требует прежде всего выполнения большой работы по отработке методики получения расчетных данных и их систематизации с учетом сложностей, связанных со сгущением спектра частот в окрестности частоты радиального или продольно-сдвигового резонанса бесконечного цилиндра, определяемых низшим из первых корней уравнений (9.9) и (9.11) главы 4. [c.210] Характерным признаком кинематики толщинной моды в беско печном слое является наличие лишь нормальных к срединной поверхности составляющих вектора перемещений частиц среды Такая кинематика частиц представлялась [264] очень важной для работы механических резонаторов. [c.211] Механические резонаторы в виде тонких круглых дисков часто используются при возбуждении осесимметричных колебаний в окрестности основной частоты толщинного резонанса. Уже первые опыты применения таких резонаторов показали необоснованность надежд на то, что в случае малой относительной толщины главная толщинная форма колебаний будет иметь близкое к поршневому движение плоских поверхностей диска [75, 264]. Кроме усложнения форм колебаний, значительные трудности встретились при объяснении структуры спектра собственных частот. Как отмечается в работе [121, с. 164], ... хотя при конструировании пьезоэлектрических резонаторов возникает много сложностей, ни одна из них не оказывается столь трудно преодолимой, как определение многочисленных мод колебаний в кристаллических пластинах. Первые опыты практического применения высокочастотных резонаторов с колебаниями по толщине были почти безуспешными вследствие казавшегося бесконечным ряда нежелательных сигналов вблизи основной модЫ колебаний . Наличие цилиндрических граничных поверхностей, особенности волноводного распространения в упругом слое, специфика отражения упругих волн от свободной границы обусловливают появление большого числа резонансов, сосредоточенных вблизи основного толщинного. Отмеченные обстоятельства явились стимулом к проведению многочисленных исследований, целью которых было получение данных для лучшего понимания природы толшин-ного резонанса в диске. [c.211] Основная цель теоретических исследований заключается в том, чтобы на основе сравнительного анализа результатов расчета в широких диапазонах изменения геометрических и физических характеристик изотропного упругого диска понять явление толщинного резонанса в упругой пластине конечных размеров. [c.212] Первые прямые наблюдения рельефа плоских поверхностей осесимметрично колеблющегося диска [32, 142] в области высоких частот обнаружили необычные типы форм колебаний и необычную зависимость соответствующих им собственных частот от геометрии диска. Смысл этой необычности в следующем. [c.212] Частично указанные особенности связаны с явлением краевого резонанса. Однако такие существенные особенности в спектре и формах колебаний наблюдаются также непосредственно в окрестности толщинного резонанса. Поэтому без систематизации данных о спектре и формах колебаний пластин во всем диапазоне частот, включая Й/, явление краевого резонанса сохраняет некоторые элементы неясности и исключительности. [c.212] Вернуться к основной статье