ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Алгоритм количественной обработки общего решения из "Гармонические колебания и волны в упругих телах " Построенные выше выражения (1.15) и (1.18) удовлетворяют требованию полноты на сторонах прямоугольника. Однако это требование не определяет однозначно структуру выражений для смещений. Для дальнейшей конкретизации решения необходимо принять во внимание иные обстоятельства. [c.164] Наиболее естественным представляется такой выбор и б , который обеспечивает наибольшую простоту удовлетворения граничных условий. Вопрос о выборе формы общего решения в рамках излагаемого подхода для задач статики обсуждался в книге [381. Полученные там выводы справедливы и для динамических задач. [c.164] Из ее структуры следует, что значения всех произвольных постоянных связаны между собой. [c.166] Из второго и четвертого уравнений этой системы видно, что отсутствие касательных нагрузок в граничных условиях упрощает связь между искомыми величинами. Вместе с тем это не вносит принципиальных ограничений в излагаемый метод. [c.166] Математическая простота двух указанных граничных задач с перекрестными (а ., или Тхг, и ) условиями на однотипных сторонах является следствием простоты процесса отражения нормальных волн в слое от такой границы. При этих условиях в процессе отражения любой распространяющейся моды от торца ни других распространяющихся, ни неоднородных волн не возникает. [c.167] В случае первой граничной задачи (2 4) произвольные постоянные необходимо определять из системы (2.5 Условия для касательных напряжений позволяют исключить две последовательности произвольных коэффициентов. Можно, например, выразить и С через В и Д,. Однако для тех значений частоты, при которых sh piL = О или sh = О, это сделать нельзя При этом, как легко заключить из (2.5), коэффициент В или равен нулю, а коэффициент А или Q остается произвольным Таким образом, после удовлетворения граничных условий по касательным напряжениям всегда имеем две последовательности произвольных коэффициентов, необходимых для выполнения остальных граничных условий. Данный вывод остается в силе и при sh p L = О или sh р = 0. [c.167] Можно показать, что равенство нулю выражений А q) и (р) приводит к уравнениям Рэлея — Лэмба (2 13) главы 4 для бесконечного слоя толщиной 2 и 2L соответственно. [c.168] Аналогичные решения можно построить и для других типов симметрии относительно координатных плоскостей. Кроме рассмотренного еще можно выделить три типа симметрии. Из них мы оста новимся несколько подробнее на случае изгибного деформирования прямоугольника, т. е. на случае, в котором картина деформирования симметрична относительно плоскости л = О и антисимметрична относительно плоскости г = 0. [c.169] Таким образом, в обеих рассматриваемых задачах при получении количественных оценок для характеристик напряженно-деформи-рованного состояния главным является вопрос об эффективном решении бесконечных систем. Анализ свойств неизвестных в этих системах позволяет построить такие алгоритмы. [c.171] Здесь Oo — некоторая постоянная, зависящая от частоты и вида внешней нагрузки. [c.171] Значение соотношения (3.1) с точки зрения оценки скорости сходимости рядов для напряжений и повышения эффективности их вычислений на основе метода Крылова [72] очевидно. Однако при использовании этих возможностей предполагается знание величины Oq. в связи со сказанным становится важным указание конкретных способов ее определения. [c.172] При этом получаем конечную систему линейных уравнений с N - -4- Л1 -f 2 неизвестными. Она отличается от системы, основанной на использовании способа простой редукции, лишь коэффициентами при последних использованных в рассмотрении неизвестных. Такое незначительное количественное различие, однако, связано с принципиальным качественным различием этих подходов. Решение конечной системы с использованием (3.2) доставляет данные о поведении всех неизвестных в исходной системе (2.10). Кроме того, определитель такой конечной системы является более точным частотным определителем, чем получаемый при простой редукции бесконечной системы. [c.172] После решения таким образом сформированной конечной системы величину/го можно определять как среднее значение величин Хы и Zm, т. е. [c.172] При этом степень близости величин хы и Zm служит определенным критерием точности нахождения значения а . Естественно, что при недостаточной близости значений хц и Zm число вовлекаемых в конечную систему неизвестных необходимо увеличить. [c.172] Еще один способ определения постоянной базируется на двух основных моментах. Прежде всего следует учитывать, что при решении бесконечных систем путем замены их конечными первые неизвестные определяются с большей точностью, чем последние. Это обстоятельство сохраняется и при использовании соотношения (3.2), В связи со сказанным целесообразно построить алгоритм определения Со по значениям первых неизвестных в отличие от правила (3.3). [c.172] На необходимость поиска такого способа указано в работе Кояло-вича [70] при решении статических задач. Анализ выражений для напряжений на граничных поверхностях показывает, что такой алгоритм действительно можно построить. [c.173] При анализе этих выражений следует обратить внимание на подчеркнутые слагаемые. Прежде всего отметим, что их появление связано со вторым предельным переходом в (3.15). Это свидетельствует о том, что такой вклад, связанный с неравномерной сходимостью рядов для напряжений на границе области, не может быть учтен при использовании способа простой редукции для системы (2.10). Следовательно, использование этого способа связано с неустранимой путем повышения порядка конечной системы погрешностью в оценке значений напряжений в угловой точке. [c.176] При этом конечная система из М + Л/ + 2 уравнений формируется на основе соотношений (3.2). [c.177] Важнейшим практическим вопросом с точки зрения анализа эффективности изложенного способа решения бесконечных систем является оценка скорости стремления неизвестных к своим предельным значениям. Для таких оценок можно использовать данные конкретных расчетов. Кроме того, большой интерес представляет случай, когда бесконечную систему можно решить точно. [c.177] Построенное выше общее решение задачи должно описывать также движение в модах Ламе. В связи с этим бесконечный определитель системы (2.10) обращается в нуль при частотах (3.22) и соответствующих размерах области (3.23). [c.177] Вернуться к основной статье