ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Постановка задачи о колебаниях прямоугольника. Метод решения из "Гармонические колебания и волны в упругих телах " В предыдущих главах рассматривались волновые процессы в бесконечных упругих телах, причем основное внимание уделялось особенностям распространения волн. При этом были изучены характерные резонансные явления, связанные с наличием границ. К ним относится распространение поверхностных вели Рэлея и Стоунли и нормальных мод в слое и цилиндре. Для всех рассмотренных ситуаций характерно то, что для них граница играет направляющую для потока энергии роль. При этом, конечно, происходят элементарные процессы отражения от границы, но они не связаны с изменением направления общего потока энергии. [c.157] Структура волнового поля существенно усложняется, если происходит такое отражение, при котором изменяется направление общего потока энергии. С такими явлениями мы сталкиваемся при рассмотрении волновых процессов в ограниченных упругих телах, граничную поверхность которых даже в простейших случаях уже нельзя отождествить с координатной поверхностью какого-либо одного семейства. Простейшим примером такого вида областей является прямоугольная призма xi а, оо, z ] h. [c.157] В акустике и электродинамике переход от задач распространения волн к задачам об установившихся колебаниях, как правило, не составляет труда, если известен полный набор нормальных мод для соответствующей бесконечной области. Знание таких мод позволяет просто построить полный набор нормальных колебаний конечного тела, т. е. найти его собственные частоты и формы. Физической основой относительной простоты возникающих здесь математических задач является простота процесса отражения соответствующего типа волн от дополнительной границы. [c.157] Однако отражение упругих волн от границы представляет собой довольно сложный процесс. Как следствие этого задача об отыскании нормальных колебаний ограниченных упругих тел становится очень сложной. Именно поэтому до настоящего времени нет ни одного полного решения такой задачи. [c.157] Рассматриваются установившиеся волновые движения в упругом теле в виде бесконечной в направлении оси Ог/, прямоугольной призмы (рис. 60). При их изучении в одинаковой мере интересно как рассмотрение собственных частот и форм, так и анализ вынужденных колебаний при определенных типах нагрузки. Хотя наличие решения задачи в одной из указанных постановок дает возможность легко получить решение в другой постановке, задача о вынужденных колебаниях представляется несколько более обш,ей. При ее решении величины собственных частот определяются как значения, при которых не суш,ествует конечного решения задачи о вынужденных движениях. Характеристики форм колебаний определяются при анализе волнового поля на частоте, близкой к соответ-ствующ,ей собственной. При этом, поскольку собственные частоты находятся приближенно, сравнение степени динамичности на разных частотах дает оценку степени близости частот к резонансным. Поэтому здесь и далее мы будем рассматривать задачи о вынужденных колебаниях конечных упругих тел. [c.158] Как показано ниже, последняя граничная задача существенно проще двух предыдущих. Задачи со смешанными условиями на частях одноименных сторон связаны с преодолением дополнительных трудностей и здесь не рассматриваются. [c.158] В настоящее время сформировались [два аналитических подхода к построению точных решений указанных задач — метод однородных решений и метод суперпозиции. Оба этих метода существенно опираются на использование свойств нормальных мод Рш5. 60. в бесконечном слое. [c.159] В методе однородных решений более полно используется информация о волновых движениях в нормальных модах. В рамках этого метода общее решение задачи (1.1) при нулевых значениях функций g (xi) и (xi) строится в виде бесконечной суммы волн в слое Zi /гс вещественными, мнимыми и комплексными постоянными распространения. При этом, естественно, принимаются во внимание волны, распространяющиеся в обоих направлениях. Нераспростра-няющиеся волны выбираются так, чтобы соответствующие характеристики напряженно-деформированного состояния убывали от поверхностей Xi= а В таком решении содержится бесконечный набор произвольных комплексных коэффициентов, подбором которых можно выполнить граничные условия на поверхностях = = а. Предположение о равенстве нулю функций g (xi) и % (xi), конечно, не является существенным ограничением. [c.159] Практическая реализация такого подхода усложнена необходимостью искать разложение функций / (Zi) и (г ) по неортогональной системе частных решений. Если обратиться к истории вопроса, то в связи с этой задачей можно проследить довольно типичную ситуацию во взаимоотношении математики и физики. Рассуждения в рамках физических аналогий (струна, мембрана, стержень) служили достаточно убедительным основанием для надежд на разрешимость задачи о таком представлении. Однако математического обоснования ее разрешимости до последнего времени не существовало. Возникающие здесь математические вопросы послужили стимулом к развитию некоторых новых по сравнению с классической проблемой Штурма — Лиувилля направлений в теории краевых задач и дифференциальных уравнений. Их характерные аспекты отражены, например, в обзоре Воровича [25]. Все же отметим, что, несмотря на большое число исследований, ряд практически важных вопросов данной проблемы остается не выясненным. В частности, еще не решен вопрос об оценке поведения коэффициентов разложения в зависимости от дифференциальных свойств разлагаемых функций. [c.159] Эти выражения представляют собой стоячую по волну и содержат две вещественные произвольные постоянные (Л+ == а + tb ). [c.161] Здесь также имеем две вещественные произвольные постоянные и Ь . Уже сама форма решения указывает на то, какая из них является определяющей при удовлетворении граничных условий соответственно на сторонах aJj = а. [c.161] Эти выражения представляют собой убывающую по амплитуде стоячую волну, что соответствует общим требованиям для комплексных корней (глава 4, 4). [c.161] Каждое из выражений (1.10) и (1.11) содержит по две вещественные произвольные постоянные (Л, = [ ib , С, = е, id,). [c.161] Элементарные составляющие в этих формулах задаются соотношениями (1.7), (1.8), (1.10) и (1.11). [c.162] Слагаемые ui и для удовлетворения двух граничных условий в смещениях или напряжениях на стороне, например, Xi == = а имеют одну произвольную постоянную. Слагаемые же содержат две произвольные постоянные, у неравноправность различных слагаемых легко понять, если учесть, что каждое решение вида (1.10) или (1.11), в отличие от решений (1.7) и (1.8), соответствует двум разным ветвям дисперсионного спектра. Данное обстоятельство особенно наглядно проявляется, если обратиться к рис. 46. При Q Q решение (1.10) для г= 1 соответствует корням = it + ifli. принадлежащим ветвям и Lg соответственно. [c.162] Для фактического определения произвольных постоянных в (1.12) используются различные подходы. В ряде работ [203, 234, 2881 применяется способ коллокации при выполнении граничных условий. В работах [244, 281, 282J применяется вариационный подход или способ разложения однородных решений в ряды по полным ортогональным системам [3, 91]. Во всех подходах получающиеся системы алгебраических уравнений требуют довольно громоздких вычислений их коэффициентов. Исключением при этом является краевая задача (1.3). При ее решении произвольные постоянные в (1.12) определяются явно с помощью соотношений обобщенной ортогональности [56, 140]. [c.162] Второй аналитический подход к построению точных решений граничных задач (1.1) — (1.3), называемый далее методом суперпозиции, основывается на несколько ином способе использования частотных решений уравнений движения. Идейную основу метода можно найти в работе Ламе [209]. Первое применение такого подхода в задачах об установившихся колебаниях прямоугольных пластин описано в работе 1184]. В последующем метод суперпозиции использовался в работах [22, 31, 1981. Возможности метода значительно расширились в связи с исследованием свойств бесконечных систем, возникающих при его применении [38, 48]. [c.162] Выражения (1.13), содержащие произвольные постоянные Ф и А, порознь удовлетворяют уравнениям движения при любом Идея метода однородных решений состояла в отыскании при данной частоте таких значений 5, при которых удовлетворялись бы однородные граничные условия на сторонах = /г. Произвольные постоянные Ф и Л затем определялись из условий на сторонах = = а. [c.163] Возможны и иные способы определения величины однако они не дают каких-либо преимуществ при удовлетворении граничных условий [381. [c.163] Вернуться к основной статье