ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Волновые движения в бесконечном цилиндре. Общее ре0 шение уравнений из "Гармонические колебания и волны в упругих телах " В главе 2 указано на существенные различия в отражении от свободной поверхности SH-волн и упругих волн других типов (Р и SV). Отражение SH-волн происходит без возбуждения иных типов движения, что обусловливает относительную простоту структуры волнового поля в слое для этого случая. [c.111] Говоря о волноводе, в данном случае о плоском волновом поле в слое, мы предполагаем, что оно удовлетворяет некоторому условию периодичности или равноправности точек слоя. Смысл этого условия в том, что если на произвольной плоскости z = Zq слоя (рис. 35) выделить некоторые точки Л1 и Л2, то состояние, которое наблюдается в точке Ai в момент времени ty, должно наблюдаться в точке Л2 в момент времени Из этого следует, что волновое поле в каждой точке волновода с плоскими границами может быть лишь суперпозицией двух плоских волн, направление распространения которых составляет определенный, зависящий от частоты угол 9 с осью волновода 0. . [c.111] Для полной определенности волнового поля в слое необходимо определить зависимость угла 9 от частоты и связать. между собой значения амплитуд и U . При решении задачи рассмотрение удобно провести отдельно для симметричного и антисимметричного относительно плоскости 2 = 0 волновых полей. Суперпозиция этих случаев позволяет представить любое поле при однотипных граничных условиях на поверхностях г = Л. [c.112] Равенства (1.4) и (1.5) являются дисперсионными соотношениями соответственно для симметричных и антисимметричных волн в слое. Каждому значению п соответствует своя нормальная волна, характеристики которой полностью определяются дисперсионным соотношением. Такой подход к выводу дисперсионных соотношений для жидкостных волноводов использован в работе [141. [c.112] Первое равенство относится к симметричному случаю, второе — к антисимметричному. [c.113] Каждое из этих выражений представляет собой нормальную волну, распространяющуюся в положительном направлении оси Ох с длиной к = 2п 1, фазовой скоростью с = и с изменением амплитуды по толщине по синусоидальному закону. Для первых двух (не считая нуле- Рис. 36. вого) симметричных и первой антисимметричной нормальных волн характер движения частиц слоя казан на рис. 36. [c.113] Полученные представления для нормальных волн (1.7) являются инвариантными по отношению к замене величины на —Это означает, что для каждой нормальной волны, бегущей в положительном направлении оси 0. , есть двойник — нормальная волна, бегущая в отрицательном направлении. Суперпозиция таких двух волн, взятых с одинаковой амплитудой, дает стоячую волну, которую можно рассматривать как собственную форму колебаний слоя. [c.113] Рассмотрим дисперсионное соотношение для симметричных волн в форме (1.4) при некотором фиксированном п, т. е. для определенной нормальной волны. Видно, что при возрастании частоты величина sin 9, а следовательно, и угол 9 уменьшаются, и для очень высоких частот нормальная волна представляет собой суперпозицию волн (1.1), распространяющихся вдоль оси 0. . [c.113] В теории волноводов для большей наглядности дисперсионные соотношения представляют графически в виде зависимости безразмерной частоты Q = от безразмерной постоянной распространения I = 2 /я. В этих координатах соотношения (1.6) представлены на рис. 37. Симметричным модам отвечают сплошные линии, антисимметричным — штриховые. [c.114] Для характеристики всех кривых в области веш,ественных значений важно отметить, что с ростом частоты Q фазовая Ср = и групповая g — dw/d скорости каждой нормальной волны стре- мятся к величине s. [c.114] Из представленных на рис. 37 данных следует, что для каждого значения частоты Q дисперсионные уравнения (1.6) обладают некоторым конечным числом вещественных корней и бесконечным числом мнимых корней. Первые корни соответствуют распространяющимся модам, переносящим энергию. Средний по времени поток энергии через поперечное сечение волновода в этих модах положителен. В то же время для нераспространяющихся мод, соответствующих чисто мнимым корням, средний поток энергии равен нулю. [c.114] Набор решений, соответствующий всем вещественным и мнимым корням для данной частоты, позволяет, в частности, достаточно просто рассмотреть задачу о гармоническом возбуждении торца полубесконечного волновода л О с учетом условий излучения, а также задачу об установившихся колебаниях бесконечного слоя при нагружении конечного участка его границы. Как видно из формул (1.7), вопрос о фактическом удовлетворении граничных условий на срезах х = onst сводится к определению коэффициентов ряда Фурье по набору нормальных волн, соответствующему типу симметрии задачи. Эти задачи обсуждаются в главе 7. [c.115] Как и для полупространства, в случае слоя со свободными границами Р-и SV-волны не могут существовать независимо. В связи с этим картина волнового движения в слое для такого типа движений является более сложной. Однако при выводе дисперсионных уравнений можно с успехом использовать прием, указанный для SH-волн. [c.115] ДЛЯ антисимметричного случая. [c.117] Для вычисления значений функций в (2.16) следует указать правила определения неоднозначных функций аир. Непосредственной проверкой можно установить, что при последовательной перемене знака в какой-либо из этих функций равенства (2.16) не нарушаются. [c.117] Выражения для потенциалов (2.2) с учетом равенств (2.4) и (2 5) используются для записи смещений в нормальных волнах. [c.117] Как уже отмечалось, первые числовые результаты при анализе уравнений (2.13) были получены Лэмбом [208], который вычислил вещественные корни для области низких чистот. В предельном случае коротких длин волн он отметил стремление фазовой скорости первой нормальной волны для продольных (симметричных относительно плоскости z = 0) и изгибных (антисимметричных) колебаний к скорости волны Рэлея для полупространства. [c.118] Первые работы по исследованию корней трансцендентных уравнений (2.13) в высокочастотной области выполнены Холденом [190] для продольных мод и вещественных волновых чисел. Он предложил эффективный метод исследования свойств корней дисперсионных уравнений Аналогичный метод был независимо развит и широко использован в ряде работМиндлина иО ноэ. В работе [236] приведено краткое изложение сути метода и дан обзор результатов других исследователей. [c.118] Сложную зависимость, характеризующую свойства нормальных волн (мод) в слое, обычно представляют графически в декартовой системе координат с абсциссой и ординатой Q. [c.118] Вернуться к основной статье