ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача Лэмба. Выражения для смещений в дальнем поле из "Гармонические колебания и волны в упругих телах " Рассмотренный выше случай возбуждения SH-волн является наиболее простым в рамках плоской динамической задачи об установившихся волновых движениях в полупространстве. При возбуждении волн нормальными поверхности полупространства и касательными (х) нагрузками в нем возникают как продольные, так и сдвиговые волны. Наличие границы предопределяет существование поверхностных волн Рэлея, т. е. физически картина волнового движения становится достаточно сложной, что отражается в сложности математических выражений для основных характеристик поля. [c.87] Математическая сложность задачи привела к тому, что сколько-нибудь подробный количественный анализ ближнего поля, т. е. зоны вблизи места приложения нагрузки, не выполнен до сих пор, за исключением расчета некоторых интегральных характеристик [233]. Для дальнего поля получены достаточно простые асимптотические выражения, которые наглядно отражают структуру волнового поля. [c.87] Таким образом, необходимо найти решение уравнений (1.3) главы 2 для скалярного потенциала ф и компоненты векторного потенциала, удовлетворяющее граничным условиям (2.2) и условию, что приложенная периодическая во времени нагрузка является единственным источником энергии. Способ выражения последнего требования через компоненты вектора смещений в данном случае следует обсудить подробнее после получения формального решения краевой задачи (2.1). [c.87] Из первого требования следует, что при Ц] fei (] ) ki) значения функции 71(72) должны быть положительными, т. е. [c.89] Физически неоднозначность представления (2.10) связана с тем, что сформулированные выше требования к решению не исключают возможности добавить к компонентам смещений стоячую рэлеев-скую волну с произвольной амплитудой Л, т. е. [c.90] Предыдущие ограничения или правила выбора значений многозначных функций определили направленность потока энергии в уходящих от границы продольных и сдвиговых волнах. Однако неоднородные по г и бегущие по х волны никаким дополнительным требованиям не подчинены. Именно это является причиной отмеченной неоднородности выражений (2 10). Суперпозиция неоднородных продольных и сдвиговых волн вблизи границы полупространства образует поверхностную волну Рэлея. Таким образом, для полной конкретизации задачи необходимо потребовать, чтобы поток энергии в рэлеевской волне был направлен от места приложения нагрузки. [c.90] Следующий шаг в преобразовании выражений (3.1) заключается в рассмотрении предельного перехода к случаю среды без затухания и получении формул, позволяющих проводить вычисления при любых значениях х я z. [c.92] Следует обратить внимание на то, что при записи интервалов интегрирования в (3.2) и (3.4) соблюдена очевидная связь с направлением обхода петли. [c.94] Полученное соотношение, выражающее исходный интеграл вдоль вещественной оси, имеет значение не только с точки зрения отыскания удобных формул для проведения вычислений Это равенство не является тождеством в строгом математическом смысле, поскольку интеграл слева неопределен, в то время как справа имеем однозначно трактуемое выражение Поэтому равенством (3 6), по существу, задается правило расшифровки математически неопределенной величины в соответствии с физическим смыслом задачи. [c.94] Эта формула используется даЛее (см 5 данной главы) для вычисления работы внешних сил. [c.95] Описанный выше способ трактовки интегралов в выражениях для смещений (2.10) позволяет, в принципе, вычислить их во всем полупространстве. Однако прямое вычисление интегралов при больших значениях / = ]/л + может быть затруднено наличием быстро осциллирующих функций в подынтегральных выражениях. При таких значениях R У а целесообразно получить асимптотические формулы, удобные для анализа дальнего поля. [c.95] Асимптотическое представление интеграла (4.1) существенно зависит от взаимного расположения особых точек функций Ф (О и q (О, нулей производной (0 и контура L. Из большого числа возможных различных ситуаций при анализе выражений (3.1) необходимо различать два случая. [c.96] Знаки в правых частях обеих асимптотических формул определяются в соответствии с принятым правилом знаков для направления обхода контура L. Указанные на рис. 31 направления обхода петель считаются отрицательными, и поэтому далее при использовании формул (4.2) и (4.3) выбирается отрицательный знак. [c.96] В соответствии с представлением (3.1) каждый из интегралов, входящих в выражения (2.10), состоит из трех слагаемых — кроме значения вычета в точке рэлеевского корня еще есть интегралы по двум петлям Li и L , обходящим разрезы соответственно из точек ветвления и = feg. При использовании соотношений (4.2) и (4.3) для асимптотической оценки интегралов по петлям необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство, имеющее место применительно к конкретным выражениям (2.10). [c.96] Отметим также, что в соответствии с равенствами (3.1) каждый интеграл в (2.1) дает определенный вклад в рэлеевскую волну. Для всех случаев, кроме г = О (0 = 90°), соответствующие слагаемые обладают экспоненциально убывающими по R множителями. В связи с этим для внутренних точек полупространства на большом расстоянии от области приложения нагрузки их можно не учитывать. Выражения для смещений точек границы приведены далее. [c.97] В частном случае воздействий типа сосредоточенной вертикальной или горизонтальной силы, двойной силы, центра сжатия изящный вывод выражений для смещений в дальнем поле приведен в работе [53]. В основу вывода положен анализ процесса отражения волн от свободной границы полупространства. [c.98] Как и следовало ожидать, основной вклад в возмущение плоской границы полупространства на достаточно большом расстоянии от места приложения нагрузки вносят рэлеевские волны, которые в рассматриваемом случае плоской задачи не убывают по амплитуде. Движения, соответствующие продольным и сдвиговым волнам, убывают с ростом х как л /. [c.99] В заключение отметим следующее. Основой найденных выражений являются общие асимптотические формулы (4.2) и (4.3). Получение таких формул базируется на использовании стандартной техники метода наибыстрейшего спуска [141]. Однако вид функции Ф ( ) в (4.1), имеющей в данном случае две точки ветвления и полюс, значительно усложняет конкретные выкладки, связанные с построением пути наибыстрейшего спуска на верхнем листе четырехлистной римановой поверхности. Примером таких трудных ситуаций может быть случай, возникающий в связи с возможностью совпадения седловой точки = йг sin 0 с точкой ветвления = = ki при некотором угле 0. Подробное обоснование справедливости асимптотических оценок интегралов в том виде, как это представлено выше, содержится в работе [233]. [c.99] Эти неравенства в определенной мере показывают, что степень близости седловых точек и точек ветвления также имеет относительный характер. [c.99] Вернуться к основной статье