ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Отражение и преломление гармонических воли на плоской границе из "Гармонические колебания и волны в упругих телах " Вопрос о локальных особенностях в физических полях различной природы при изучении их методами математической физики имеет принципиальное значение. Рассматривая кратко этот вопрос применительно к динамическим задачам теории упругости, следует обратить внимание на три существенных момента. [c.30] В рамках данной работы, посвященной вопросам установившихся колебаний идеально упругого тела, решение вопросов об особенностях проводится с использованием дополнительного важного положения. Смысл его состоит в том, что вопрос об особенностях при гармонических процессах в упругих телах может быть выяснен на основе анализа решений соответствующих статических граничных задач. Это положение можно обосновать, повторяя соображения, позволяющие пренебречь инерционными членами в уравнении Гельмгольца для акустики и Максвелла для электродинамики [97, 144]. При этом рассматривается деформирование области, размеры которой существенно меньше длины волны. [c.31] В настоящее время вопрос о типах особенностей, возникающих в статических граничных задачах теории упругости, решен не полностью. В частности, в качестве нерешенного можно отметить вопрос об особенности в окрестности угла клиновидного (прямоугольного) штампа на полупространстве. Однако многие ситуации уже достаточно ясны и знание характера особенности часто может служить основой для существенного улучшения алгоритма решения задачи. [c.31] В случае разрывного характера нагрузки возможные ситуации представлены на рис. 2. Здесь показана часть гладкой граничной поверхности 5 упругого тела, вдоль линии L которой имеем разрыв нормальных или касательных нагрузок. На самой этой линии можно выделить два типа точек — точки Л и S. Для точки А характерно то, что ее можно окружить малой областью, размер которой существенно меньше радиуса кривизны линии L в этой точке. Напротив, в точке В такую область указать нельзя. [c.32] Для точек первого типа (точки А) вопрос об особенностях в на-пряженно-деформированном состоянии можно решить на основе рассмотрения некоторых простых задач теории упругости о плоской деформации полупространства. Соответствующие разрывам нормальных и касательных нагрузок ситуации в этом случае схематически показаны на рис. 3. Полное решение таких задач хорошо известно [127]. Из их анализа следует, что в случае наличия скачка в нормальной нагрузке (см. рис. 3, а) логарифмическая особенность появляется при подходе к точке О в выражении для угла поворота относительно оси Oz, т. е. [c.32] Все остальные характеристики напряженно-деформированного состояния в обеих рассматриваемых задачах остаются конечными при подходе к точке разрыва внешней нагрузки. [c.33] Несколько сложнее ситуация при рассмотрении локальных свойств напряженно-деформированного состояния в окрестности точки В (см. рис. 2). Это связано не столько с усложнением физической картины, сколько с тем, что для расшифровки такого состояния необходимо использовать решение более громоздкой пространственной задачи о нагружении по ограниченному участку упругого полупространства. При этом область нагружения должна обладать угловыми точками. [c.33] Одна из возможных постановок задач в данном случае показана на рис. 4, где область нагружения является прямоугольным треугольником с углом Р при вершине В. Здесь для построения полного решения можно использовать результаты монографии [801. Анализ соответствующего рассматриваемому способу нагружения решения показывает, что здесь углы поворота относительно осей Ьх и Ог/ имеют логарифмическую особенность при подходе, например, к вершине В треугольника ВЬС, т. е. [c.33] Если рассматривать задачу о разрыве касательных нагрузок, заданных в пределах того же треугольника, то к аналогичному заключению приходим для нормальных напряжений а и в окрестности вершин треугольника. [c.33] Следующий этап исследования связан с изучением особенностей, возникающих при задании на разных участках границы различных условий. Полностью этот вопрос еще не исследован. В частности, имеются определенные трудности при анализе характера особенности вблизи края клиновидного гладкого или жестко сцепленного штампа на полупространстве. Это затрудняет решение вопроса о характере особенности в окрестности точек типа В (см. рис. 2). Однако имеющиеся довольно полные результаты решения смешанных задач плоской теории упругости [99] позволяют полностью выяснить вопрос об особенностях в окрестности точек типа А (см. рис. 2). [c.33] Отметим, что Л. (0) = Лз(0) = О, Л,(0) Ф О, т. е. особенность в напряжениях, заданных на поверхности отсутствует. [c.35] Остановимся также еще на одном моменте, следующем из сделанных выше замечаний относительно возможности убрать особенность при помощи подбора нагрузки на поверхности упругого тела Ситуация здесь абсолютно естественна в рамках следующих рассуждений. Пусть из анализа однородных условий известно, что в изучаемой задаче возможно возникновение сингулярности типа р—а при подходе к некоторой точке. Тогда в каждом конкретном случае главное слагаемое в некотором компоненте тензора напряжений будет иметь вид а Лр . Если величина а полностью определяется типом однородных граничных условий, материалом и геометрией области, то величина А зависит и от характера внешней нагрузки. В такой трактовке ясно, что частный случай Л — О не является указанием на отсутствие особенности в общем случае. [c.36] Заканчивая рассмотрение вопроса об особенностях, объясним причину столь пристального внимания к этому вопросу в данной книге. Дело в том, что с появлением сингулярностей в граничной задаче связаны не только описанные трудности в трактовке конечных результатов решения. Оказывается, что априорное знание характера особенности в рассматриваемой задаче часто дает возможность сделать далеко идущие выводы о свойствах ее решения в целом. Особенно это относится к случаям, когда такое решение ищется в виде рядов по полным системам функции некоторой задачи Штурма — Лиувилля. Важнейшим свойством рядов по ним является зависимость характера убывания коэффициентов разложения от локальных свойств представляемых функций. Часто это позволяет еще до решения задачи найти асимптотические выражения для искомых величин. Такая возможность используется в рассматриваемых в книге задачах и является основой получения удовлетворительной точности в рамках достаточно простых вычислений. [c.36] В ряде случаев, когда границы области, в которой изучается волновое поле, уходят в бесконечность, неоднозначность решения соответствующей задачи можно связывать не только с наличием сингулярностей. В этих случаях кроме характера особенности необходимо указать дополнительные условия, описывающие структуру волнового поля на бесконечности в соответствии с физическими особенностями задачи. Когда все источники энергии сосредоточены в конечной области пространства, такие дополнительные условия называются условиями излучения. [c.37] Физическое содержание условий излучения для полей различной природы чрезвычайно ясное — они требуют, чтобы на бесконечности отсутствовали источники энергии. Трудности с использованием этих условий возникают при естественном стремлении перевести указанное физическое определение на язык математических соотношений, связывающих характеристики изучаемого поля. [c.37] В случае поглощающих сред формулировка условий излучения не представляет труда. Достаточно потребовать, чтобы все характеристики поля стремились к нулю с увеличением расстояния от имеющихся источников энергии. Для непоглощающей среды ситуация существенно усложняется. [c.37] Здесь г радиус в сферической системе координат с центром внутри области, где расположены источники. Отметим, что знак минус во втором равенстве связан с выбором знака в экспоненциальном временном множителе мы принимаем зависимость ехр (—гсо ). [c.37] Такую запись можно считать недостаточно четкой в том смысле, что по форме она связана с разбиением вектора смещений на две составляющие. Общий анализ интегральных представлений поля смещений через функцию Грина [251J приводит к условиям излучения, выраженным через полный вектор и. Однако после подстановки в них выражения (5.2) снова приходим к соотношениям (5.3). [c.38] Условия (5.1) и (5.3) по существу являются правилами выбора знака фазовой скорости гармонических волн [84]. Во многих практически важных случаях для задач акустики, упругости и электродинамики выбор из двух возможных волн той, у которой фазовая скорость направлена в бесконечность, действительно отражаег физический факт, что на бесконечности нет источников энергии. В связи с этим отметим, что запись условий излучения в виде (5.1) и (5.3) связана с предположением одинаковой направленности фазовой скорости и скорости переноса энергии в гармонической волне [84, 86, 88]. Чтобы более полно раскрыть следствия такого предположения, необходимо кратко остановиться на понятиях потока мощности и групповой скорости. Они особенно важны и необходимы при формулировке условий излучения для областей с уходящими в бесконечность границами. [c.38] Прежде чем перейти к описанию этих понятий, обратим внимание еще на один важный, с нашей точки зрения, вопрос. Тот факт, что в упругом теле следует раздельно формулировать условия излучения для каждого возможного типа волнового движения, является очень важным. Если обобщить его на области с уходящими на бесконечность границами ( слой ), то становится ясной принципиальная сторона трудностей, возникающих при формулировке условий излучения для таких областей. Эти трудности, очевидно, связаны с тем, что ( юрмулировке условий излучения должен предшествовать глубокий анализ структуры поля для определения возможных независимых типов волнового движения в области. Такая задача является довольно сложной. Ее решение применительно к распространению волн в слое и цилиндре приведено далее в главе 4. Для случая акустического слоя условия излучения сформулированы в работе [115]. [c.38] Вернуться к основной статье