ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гармонические волны в безграничной среде. Поляризация из "Гармонические колебания и волны в упругих телах " В книге рассматриваются процессы распространения волн в идеальном линейно-упругом теле. Такая модель среды полностью характеризуется тремя величинами —двумя упругими постоянными и плотностью в невозмущенном состоянии. [c.16] Уравнения (1.4) и (1.6) обычно называют уравнениями движения Ламе. Они многократно выводились и использовались в работах по линейной теории упругости Навье (1821), Коши (1828, 1840), Пуассона (1829), Ламе и Клапейрона (1833), Стокса (1845, 1851), Ламе (1852). Приведенные ниже иные формы записи уравнений (1.6) и частные свойства их решений также установлены в отмеченных работах. Глубокий обзор исследований, выполненных на раннем этапе развития теории упругости, приведен в работе [186]. [c.17] Расшифровка векторных дифференциальных операторов, введенных при записи (1.4) и (1.6), в декартовой и цилиндрической системах координат дана ниже. Здесь же мы обратим внимание на сле-дуюш,ее обстоятельство, отмеченное, по-видимому, впервые Мандельштамом [89]. [c.17] Уравнение (1.1) является записью второго закона Ньютона применительно к элементу сплошной среды. Известно, что законы Ньютона являются инвариантными по отношению к преобразованию Галилея. Легко проверить, что векторное уравнение (1.6) по отношению к этому преобразованию не инвариантно. Если в акустическом случае классическое волновое уравнение оказывается инвариантным по отношению к преобразованию Лорентца, то уравнение движения Ламе не инвариантно и по отношению к этому преобразованию. Причина такого положения в неточности, допуш,енной при вычислении ускорения элемента среды. Производная по времени для данного элемента среды d/dt и производная по времени в данном месте пространства d/dt отличаются между собой. С учетом этого различия указанный парадокс исчезает, однако соответству-юш,ее уравнение движения становится нелинейным. Нелинейные слагаемые имеют тот же порядок малости, что и отброшенные при выводе уравнений (1.1) — (1.3) в лагранжевой системе координат, жестко связанной со средой. [c.17] Для понимания возможностей линейной теории волн в упругих телах важно рассмотреть комплекс кинематических и физических допущений, сделанных при выводе основной системы (1.1)—(1-3). Подробный анализ процесса вывода этих уравнений с такой точки зрения содержится в монографиях Новожилова [105, 106]. [c.18] что частные решения для векторов смещений Ui и щ описывают распространение возмущений с разными скоростями i и g. Исходя из указанных свойств векторов Ui и Uj скорость i называют скоростью безвихревой волны (rot Ux = 0), Сг— скоростью эквиво-люминальной волны (divu2=0). [c.18] Поскольку i g, то безвихревая часть возмущения, характеризуемая величиной div и, распространяется быстрее, чем его вихревая часть, описываемая величиной rot и. Поэтому в сейсмологии скорости l и Сз называются скоростями первичных ср Р—primary) и вторичных S S — se ondary) по времени прихода возмущений. Такие обозначения используются и в данной книге. [c.18] Уравнение движения (1.6) относительно вектора смещений и является довольно сложным. Один из естественных путей его решения состоит в представлении вектора и в области В в виде суммы некоторых вспомогательных векторов, удовлетворяющих в этой области более простым уравнениям типа (1.11). [c.19] Формально представление (1.15)., (1.16) задает выражение трех компонентов вектора смещений через четыре другие функции — скалярный потенциал ф и три компоненты векторного потенциала а. Это означает, что скалярный и векторный потенциалы должны подчиняться дополнительному условию. [c.20] Подчеркнем, что согласно теореме о полноте представления (1.15) любой волновой процесс в конечном или бесконечном упругом теле может быть описан как суперпозиция волновых движений со скоростями. l и Са- В случае неограниченного упругого тела волны обоих типов распространяются независимо друг от друга. Наличие границы приводит к взаимодействию двух типов волн и появлению волн, распространяющихся со скоростями, отличными от i и с . Примеры таких волн приведены в главах 2, 4. Однако и в этом случае вектор смещений и можно представить с помощью двух потенциалов ф и а. [c.21] Вместе с тем отметим также следующее. Построению общих решений уравнений движения, как и в случае статических задач, уделяется очень большое внимание. Представление (1.15) и (1.16), конечно, является не единственно возможным [104, 186]. Работы по построению новых представлений несомненно важны с точки зрения исследования структуры уравнений динамики упругого тела. Од--нако если проанализировать полуторавековой исторический опыт, то окажется, что роль таких общих представлений при фактическом решении граничных задач теории упругости весьма мала. [c.21] Имеющиеся решения получены, вообще говоря, без существенного использования таких общих представлений. Они удобны лишь на начальном этапе поиска решений уравнений упругости, однако главный вопрос об удовлетворении граничных условий, как правило, решается уже без них. [c.21] Из последнего выражения следует, что в бесконечной упругой среде со скоростью С распространяется плоская волна. Смещение частиц совпадает с направлением распространения волны, определяемым вектором р. В связи с этим такая волна называется продольной. Движение частиц среды, обусловленное этой волной, безвихревое, т. е. rot U = 0. [c.23] Здесь Ао— некоторый фиксированный вектор. [c.23] В частных решениях (1.28) и (1.30) конкретный вид функций / и g был несуществен. Дальнейшее изучение динамического поведения упругих тел связано, по существу, с решением вопроса о выборе конкретных выражений для fug, дающих возможность удовлетворить систему дополнительных условий, отражающих взаимодействие упругого тела с другими объектами, и его начальное состояние. При этом оказывается, что произвольные волновые движения, которые описываются уравнениями (1.16), в общем случае могут быть образованы суперпозицией плоских волн, имеющих различные направления распространения и амплитуду [981. [c.23] Линейные уравнения (1.6) описывают волновые движения в однородной изотропной упругой среде. Для полной постановки граничной задачи математической физики эти уравнения необходимо дополнить начальными и граничными условиями. [c.24] Что касается начальных условий, то для уравнений (1.6) они формулируются так же, как и для классического волнового уравнения [129]. В начальный момент времени = О во всем объеме В, занимаемом упругим телом, задаются смещения и скорости всех частиц среды, т. е. [c.24] Интегрированию уравнений движения (1.6) с начальными условиями (2.1) в безграничной упругой среде посвящено значительное число работ выдающихся математиков и физиков прошлого столетия [8Й. В них обобщалась картина движения [129], описывающегося классическим волновым уравнением. Несвязанность двух типов волн привела к тому, что и в случае упругого пространства физическая картина распространения возмущения из конечной области оказалась довольно ясной [82, 123, 270]. [c.24] Стокс [270] установил, что вне возмущенной области со скоростями l и Са распространяются продольные и поперечные волны. Если следить за некоторой отдаленной точкой Q, то в начальный момент времени = О она находится в покое. Когда приходит продольная волна, точка смещается. По истечении промежутка времени (Га — ri)/ i, где / i и Га — минимальное и максимальное расстояния от точки Q до области начального возмущения, продольная волна уходит. В течение промежутка времени = rj/ i— rj не происходит ни растяжения, ни сдвига, однако среда не является абсолютно возмущенной. Движение в окрестности точки Q будет такого же характера, как и безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости. Затем в течение времени г — / J/ a действует поперечная волна. После прохождения этой волны волновое движение заканчивается. [c.24] Чрезвычайно важным моментом как с точки зрения усложнения волновой картины в рамках модели упругого тела, так и с точки зрения возможности практического использования результатов является введение в рассмотрение волновых ситуаций, связанных с наличием границ. [c.24] Вернуться к основной статье