ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обобщенные формы непрерывного продолжения решения из "Проблемы нелинейного деформирования " В отличие от матр /для системы (В.1.1), определенной соотношением (В.1.6), матрица / — прямоугольная. Она состоит из т строк и m + 1 столбцов и фактически совпадает с расширенной матрицей Якоби системы (В.1.1), введенной соотношением (В.2.3). [c.25] Как и ранее, будем считать, что некоторое решение системы (1.1.3) известно, т.ё. [c.26] Здесь dj[/d m-мерный вектор, образованный из (т + 1)-мерного вектора dxfdx исключением А-й компоненты 5 = [dFi/dA . [c.26] Нетрудно заметить, что эти уравнения представляют условие ортогональности искомого вектора dX/dX к векторам-строкш Г,- матрицы/. [c.27] Напомним, что подпространства Р, и Аа ортогональны, если для любых векторов f Р, и G Ad их скалярное произведение равно нулю. [c.27] Так как любой вектор подпространства Аа ортогонален подпространству Рг, то он ортогонален и строкам Ti матрицы /. Поэтому любой вектор из Аа является решением системы (1.1.15), т.е. [c.27] Таким образом, решение системы (1.1.15) сводится к отысканию в Rm Ц.1 продпространства Аа, ортогонального подпространству Р,, натянутому на строки, I = 1.т, матрицы J. [c.27] в регулярных и предельных точках отыскание решения системы (1.1.17) сводится к нахождению в R +i одномерного подпространства Ai, ортогонального подпространству Р , которое, в свою очередь, определено базисом из фтрсж Г/,1 = 1. т, матрицы /. [c.28] Эта задача легко решается, если в Р известен оргонормированный базис, построить который иэ базиса Tf, / = 1,. . ., ш, можно с помощью хорошо известного процесса орюгонализации базиса Грама - Шмидта. [c.28] Приращение ДХ является длиной хорды дуга АВ и при В - А стремится к дифференциалу dX длины дуга кривой К. А потому параметр X является длиной дуга К. [c.30] Процесс продолжения решения на основе интегрирования задачи Коши (1.1.24), (1.1.25), вообще говоря, не требует определения параметра продолжения X, Здесь мы только выяснили его смысл. Как видно, этот смысл параметру продолжения X придало требование равноправия переменных в процессе продолжения решения. [c.30] Теперь становится очевидным, почему рассмотренная во Введении (В.2) попытка выбрать в качестве параметра продолжения длину крт-вой К фактически свелась к выбору одной из неизвестных параметром продолжения. Причина этого кроется в решении системы (B.2.1S), с точностью до обозначений совпадающей с сибтемой (1.1.18), методом исключения, который в применении к задачам продолжения решения требует отдать предпочтение какой-либо из переменных, в то время, как требование, чтобы в процессе продолжения решения все переменные и параметр задачи в том числе были.равноправны, пртводит естественным образом к то , что фактическим параметром продолжения оказывается параметр д лины кривой К. [c.30] Обсудим теперь вопрос о погрешности, связанной с переходом от неявной формулировки уравнений продолжения (1.1.8) к явной (1.1.24). [c.30] Осуществляющая этот переход операция ort(/, Q) равносильна решению системы (1.1.8) методом оргогонализашш [35, 63]. Этот метод по числу требуемых для своей реализации операций незначительно уступает методу исключения Гаусса. [c.30] В таком алгоритме остается произвол в выборе вектора Q на первом шаге, при переходе от Х(о) = О к X(i). Так как обычно начальная точка X = 0. [c.32] Как известно (см., например, [35]), на каждом шаге такого алгоритма накапливается ошибка порядка О (АХ ). [c.33] На рис. 1.5 показана геометрия процесса (1.2.9) для уравнения с одним неизвестным при переходе от к Pi(. Искомым множествсм решений уравнения F(A, Р) =0 является кривая К, по которой поверхность F( P) пересекается с плоскостью ЛГ, Р. Итерационный процесс Ньютона — Рафсона проходит в ГО10СК0СТИ P=Pj с начальным приближением i). [c.36] Вернуться к основной статье