ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Проблема выбора параметра продолжения и ее связь с поведением решения в окрестности особых точек из "Проблемы нелинейного деформирования " Все дальнейшие расс)окдения будем проводить в (ш +1)-Мерном евклидовом пространстве т.е. в векторном пространстве с евклидовой нормой. По т координатным направлениям в Rm+i будем отсчитывать значения компонент Х (/ = 1. т) вектора X, а по (т + 1)-глу направлению — значения параметр Р. Такой подход позволяет исполь-з( ать наглядные геомет шческие образы. [c.12] О Здесь и ниже знак т будет обозначать операцию транспонирования. [c.12] Сама идея продолжения решения известна и эксплуатируется в математике и механике давно. Достаточно заметить, что именно она, по существу, лежит в осюве из естюго метода возмущений (метода малого параметра), первые применения которого восходят к работам. У. Леверье (1856 г.) и А. Пуанкаре (1892 г.). [c.13] Здесь О - заданная погрешность по норме искомого решения . [c.14] Шаговые процессы по параметру с итерационным уточнением решения на каждом шаге будем называть дискретным продолжением решения. [c.15] К этому алгоритму, по существу, сводится известный метод последовательных нагружений, предложенный В.З. Власовым и В.В. Петровым в 1959 г. [276]. Без труда можно построить и алгоритмы других схем, имеющих более высокий порядок точности, таких как модифицированный метод Эйлера, методы 1 нге — Кутта, Адамса — Штермера и дф. Эти схемы использовались и исследовались в рамках метода продолжения по параметру в статьях [136—138,389,437,438] и в целом ряде других работ. [c.15] Продолжение решения на основе интегрирования задачи Коши (B.1S), (В.1.10) с помощью явных схем интегрирования будем ниже назьшать не-пре швным продолжением решения. [c.16] Это позволяет процесс реализации неявной схемы (В-1.13) сформулировать в виде итерационного процесса метода Ньютона - Рафсона (В.1.7). Возможны, конечно, и другие итерационные процессы, обеспечивающие вычисления по неявной схеме (В.1.13). [c.16] Метод продолжения решения по параметру в изложенном здесь виде может быть практически без изменений распространен на нелинейные краевые задачи, если считать, что F X,P) представляет оператор краевой задачи, включающий ее уравнения и граничные условия, а дифференцирование в соотношениях (В.1.6), (В.1.8) понимать в смысле 1 ше. [c.17] Дополнительные указания на дштературу по методу продолжения решения по параметру можно найти в монографиях [481,366]. [c.17] Изложенные выше формы метода продолжения решенш по параметру предполагают, что в рассматриваемом интервале значений параметра Ро Р Р определитель det(/) матрицы Якоби системы уравнений (В. 1.1) отличен от нуля. Использование метода в окрестности особых точек, где det(/) = О, требует особого обсуждения. Рассмотрим этот вопрос на примере алгебраической или трансцендентной системы уравнений. С учетом отмеченной выше общности форм дискретного и непрерывного продолжений будем исследовать задачу Коши по параметру, не касаясь ее конкретной численной реализации в ввде тех или иных разностных схем. [c.17] Ранг матрицы А размера тХп будем обозначать как rang( 4). Он определяется числом линейно независимых столбцов или строк матрицы. При этом столбцы матрицы Л удобно рассматривать как векторы в пространстве Rm, а строки — так же как векторы, но в прост1Шстве Кй- Числа линейно независимых строк и столбцов матрицы всегда совпадают. [c.18] Вернуться к основной статье