ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сопряженные линии, линии кривизны, асимптотические линии из "Теория упругих тонких оболочек " В каждой точке поверхности, в которой она имеет определенную касательную плоскость, можно построить кривую второго порядка (или пару параллельных прямых), являющуюся индикатрисой Дюпена. В связи с этим в теории поверхностей используются некоторые термины, заимствованные из аналитической геометрии. Направления сопряженных диаметров индикатрисы называются сопряженными направлениями на поверхности. Главные направления индикатрисы называются главными направлениями поверхности. Наконец, направления асимппют индикатрисы (если они действительны) называются асимптотическими направлениями поверхности. [c.19] Два семейства кривых, касательные к которым в каждой точке поверхности сопряжены, образуют сопряженную сеть кривых на поверхности. Кривые на поверхности, касательные к которым везде совпадают с главными направлениями, называются линиями кривизны. [c.19] Поверхность, отнесенная к криволинейным координатам, в которых ai- и а2-линии являются линиями кривизны, или коротко, поверхность, отнесет ап к линиям кривизны, характеризуется тем, что для нее х = п/2, Li2 = О, так как главные направления поверхности сопряжены и одновременно ортогональны. [c.20] В теории поверхностей доказывается, что всякую поверхность можно отнести к линиям кривизны. Координатные линии при этом, вообще говоря, определятся единственным образом. Исключением является случай, когда поверхность имеет области с постоянной кривизной. Такие области всегда представляют собой части сферы, а на сфере любая кривая может рассматриваться как линия кривизны. [c.20] Радиусы кривизн нормальных сечений, проведенных вдоль линий кривизны, мы будем обозначать через и и называть главными радиусами кривизны. Они, как легко убедиться с помощью индикатрисы Дюпена, обладают экстремальными свойствами, т. е. один из них дает локальный максимум, а другой — локальный минимум (первый не обязательно будет соответствовать наименьшим значениям MR). [c.20] Аналитически не всегда легко бывает найти линии кривизны данной поверхности, поэтому полезно иметь в виду следующее чисто геометрическое свойство этих линий две бесконечно близкие нормали поверхности, проведенные через точки одной и той же линии кривизны этой поверхности, не перекрещиваются, а пересекаются пример применения этой теоремы к поверхностям вращения дан в 14.9). [c.20] Оно аналогично (1.5.2), но Ri , представляющее собой меру несопряженности координатных линий, не имеет такого простого геометрического истолкования, как Rii, i 22. [c.20] Вернуться к основной статье