ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вторая квадратичная форма поверхности и индикатриса Дюпена из "Теория упругих тонких оболочек " Про вектор, представленный в форме (1.2.1), будем говорить, что он развернут по осям основного триэдра, а скалярные величины Si, s , s будем называть основными компонентами вектора S. [c.14] Здесь знаки расставлены, исходя из предположения, что основной триэдр ориентирован так, как показано на рис. 1. [c.15] Здесь скалярные коэффициенты при УИ, и УИа обозначены при помощи так называемых символов Кристоффеля, т. е. буквы Г с тремя индексами из которых два нижних индекса показывают, по каким переменным дифференцируется М в левой части соответствующего равенства, а верхний индекс показывает, при какой производной от М стоит данный коэффициент. [c.15] Величины Lij, определенные формулами (1.3.2) или (1.3.3), называются коэффициентами второй квадратичной формы, которая будет обсуждаться в следующем параграфе. [c.15] Здесь и всюду в дальнейшем считается, что индексы могут принимать значения 1, 2, но не могут быть равны друг другу. Это значит, что если в формулу входит только один из этих индексов, то ему надо придавать значения 1 и 2, а если в формулу входят оба индекса г, /, то в этой паре индексов надо придавать две и только две пары значений t = 1, / = 2 и t = 2, / = 1. Такое правило будет применяться всегда, когда не оговорено противоположное. [c.15] В частности, означает, что всякое равенство, содержащее индексы I, /, надо рассматривать как двойное. [c.16] Их легко проверить, помножая скалярно написанные равенства на Mt и учитывая (1.3.3) и (1.1.4). [c.16] В правильности этих формул можно убедиться, выполнив дифференцирование в левых частях равенств и приняв во внимание (1.3.1) и (1.3.4). [c.16] Равенства (1.3.1) или (1.3.6) вместе с (1.3.5) образуют деривационные формулы Гаусса—Вейнгартена и играют важную роль в теории поверхностей. Они дают возможность выразить любую производную от вектора М через Мц -Mi и п. Для этого надо дифференцировать нужное число раз уравнения (1.3.1), заменяя величины Мц, М , M i, M2z и л через М , М и п при помощи (1.3.1) и (1.3.5). [c.16] Отсюда вытекает одна из основных теорем теории поверхностей коэффициенты первой и второй квадратичных форм данной поверхности определяют эту поверхность с точностью до М , М , Ml, л , т. е. с точностью до ее положения в пространстве. [c.16] Первые два из них носят название уравнений Кодацци, а последнее — уравнения Гаусса. Наиболее важным является уравнение Гаусса, к геометрическому смыслу которого нам еще придется вернуться. [c.17] В которой, как это обычно делается в теории поверхностей, перед /R из двух возможных знаков поставлен минус. Это значит, что основной триэдр поверхности надо строить так, чтобы вектор п был направлен в сторону выпуклости тех нормальных сечений поверхности, кривизны которых считаются положительными (рис. 2). [c.18] Выберем на поверхности некоторую точку Р, построим в ней касательную плоскость Е и рассечем поверхность плоскостью, параллельной Е и отстоящей от нее на сколько угодно малое расстояние. В пересечении получится некоторая кривая, которую мы спроектируем на Е и обозначим буквой S. [c.18] Изменим подобно кривую S, положив в правой части этого равенства константу равной 1. Тогда мы придем к уравнению кривой, носящей наименование индикатрисы Дюпена. [c.18] Индикатриса Дюпена в весьма наглядной форме показывает, как в дан ной точке поверхности изменяется кривизна нормального сечения поверхности в зависимости от направления этого сечения. Если ар — угол, который составляет интересующее нас сечение с а -линией (рис. 3), то радиус-вектор, проведенный под углом гр к оси I из начала координат до пересечения с индикатрисой Дюпена, равен V R. [c.18] В соответствии с этим говорят, что в данной точке поверхность имеет положительную (при А 0), отрицательную (при А 0) или нулевую (при А = 0) гауссову кривизну (более конкретное содержание этого понятия будет указано ниже). [c.18] В дальнейшем гауссову кривизну там, где это не может вызвать недоразумений, мы будем называть просто кривизной поверхности. [c.19] Вернуться к основной статье