ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дифференциальная теория тонких оболочек из "Теория тонких оболочек " Конечно-разностные методы, лежащие в основе использования современных численных методов, реализуемых с помощью ЭВМ, сохраняют связь с методами дифференциального исчисления. Но, как отмечается в литературе, нет исчерпывающего обоснования математического анализа, с одной стороны, нет и оценок границы взаимопроникновения в пространственно-временном континууме дифференциальных и конечно-разностных методов. [c.17] Настоящая часть работы посвящена анализу математических основ теории тонких оболочек и пластин, исследованию границ применимости дифференциальных и конечно-разностных методов в теории, исследованию следствий применения интерполяционной формулы Ньютона, формулы Тейлора, а также исследованию моделей теории тонких оболочек. [c.17] ИЗ которой следует формула Тейлора. [c.17] приходим к конечному числу членов ряда в зависимости для приращения функции. [c.18] Эта производная в рамках принятой методологаи является точной, но отличной от классической и может быть определена как конечная производная. [c.18] Обозначим зависимость (2.7) как асимптотическую производную. [c.18] Рассмотренные следствия интерполяционной формулы Ньютона, теоретически равноценные, приводят к разным возможностям их использования и к необходимости приведения в соответствии с ним аппарата и моделей теорий, использующих эти следствия. Например, если в той или иной задаче механики твердого деформируемого тела применяется понятие и - оо или Дл О и, следовательно, понятие классической производной, то и математическая модель задачи должна соответствовать этому условию (следствие 1). Если же задача использует модель, в которой п оо, следует использовать математический аппарат, соответствующий следствию 2, и конечную производную. [c.18] В механике твердого деформируемого тела возможен и вариант использования следствия 3 (Дх - оо) и, следовательно, асимптотической производной. Связь асимптотической производной с классической осуществляется через отношение аргументов [зависимость (2.2) ]. [c.18] Рассмотрим соотношение двух форм представления аргумента Ах, dx. При этом предполагается в соответствии с теорией, что Ах малая, но конечная величина dx- 0, т. е. бесконечно малая. [c.18] В свете полученных выводов с учетом зависимостей (2.1)—(2.9) рассмотрим модели ТТО и пластин, поскольку в них используются разновеликие параметры ds- 0, t — конечная величина, R t ds t [10, 20, 28, 31]. [c.19] Отсюда следует, что система взглядов ТТО, построенная на подобии фигур в малом, рассыпается, и нужна система, построенная на других посылках. [c.20] Проследим взаимосвязь элементов системы ТТО далее. Положения 2—4 обосновывают исходное положение / о срединной поверхности оболочки как опорной и определяющей ее геометрию. Но эти положения диктуют конечность размеров элемента оболочки ASi (.ASi t). Только в этом случае можно принимать положение I. Отсюда следует вывод положения 2—4 ТТО приводят не к дифференциальному, а к конечно-разностному характеру всей системы взглядов ТТО. [c.20] При выполнении условия (2.11) имеем Asi,2- 0 t = 2h 0 . [c.20] Модель элемента оболочки уже принимает вид, отличный от представленного на рис. 1.1 (рис. 2.1). Это уже стержневой элемент, пределом которого является отрезок геометрической линии, т. е. площадь поперечного сечения элемента стремится к нулю (по определению [2] — к одномерному элементу). Но у одномерного элемента нет срединной поверхности, так как она стягивается в точку. В этом случае мы можем говорить лишь о середине стержня, ведь его торцы нулевой толщины имеют большой набор кривизн, в том числе и нулевую. [c.20] В свою очередь, это позволяет ввести понятие потенциального двумерного потока , подготовленное, с одной стороны, теорией плоского напряженного состояния, с другой, — ТТО, так как средние величины F и М символизируют распространение потока НДС в тонком теле, ограниченном лицевыми поверхностями. Этот поток делится на две составляющие нулевого порядка М р = О (изгибная) и первого F p (осевая). [c.21] Отсюда следует — оперировать с ними, как с бесконечно малыми величинами, нельзя, нельзя и составлять дифференциальные уравнения равновесия и неразрывности. [c.21] Следовательно, исходные разрешающие уравнения ТТО и пластин в классическом варианте (в соответствии с моделью рис. 1.1) должны быть записаны не в дифференциальной, а в конечно-разностной форме. Но это, в свою очередь, требует, с одной стороны, оценки размеров конечного элемента оболочки (пластины), с другой, — оценки границы работоспособности дифференциальной и ко-нечно-разностной форм. Как следствие, следует спрогнозировать появление какого-то нового варианта теории, удовлетворяющего классической дифференциальной форме представления зависимостей. [c.22] В соответствии с классической моделью (рис. 1.1) необходимо решать систему конечно-разностных (2.17), а не дифференциальных уравнений. Отождествление же системы (2.17) с аналогично выглядящей системой дифференциальных уравнений требует математического обоснования и разрешения противоречий в соотношениях (2.10) и (2.12). В классической ТТО и пластин этот анализ отсутствует. [c.22] Действительно, для элемента оболочки принимается sin а—а. [c.23] Отсюда Дх = ЛДа при R 50t. Соотношение sin а - а справедливо в пределах а 0,09 и не более. Таким образом, As - St. Отсюда элемент с линейным размером St допускается самой теорией. При пользовании теорией с таким широким допуском следует иметь в виду, что t — конечная величина и, следовательно, разрешающие уравнения должны быть конечно-разностными. [c.23] Вернуться к основной статье