ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Упругая задача для композитов с периодической структурой из "Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов " Включения при деформировании сред матричного типа взаимодействуют друг с другом посредством упругих полей матрицы (за исключением не ргьссматриваемого здесь предельного случая, когда включения касаются друг друга). Если включения в матрице расположены далеко друг от друга, то упругое поле матрицы вокруг произвольно выделенного включения, как и упругое поле самого включения, определяется только особенностями совместного деформирования этого включения и матрицы и не зависит от наличия или отсутствия других включений. Тогда механика деформирования среды с малой концентрацией включений может быть построена на основе решения задачи об изолированном включении. Соглгьсно такому решению искажения, вызываемые в упругом поле матрицы инородным включением, затухают на расстоянии порядка трех-четырех характерных размеров включения [302]. [c.87] Таким образом, если структура среды такова, что включения не взаимодействуют друг с другом, то за пределами области затухания поля напряжений и деформаций в матрице являются однородными. Легко показать, что структурные напряжения в этой области равны заданным макроскопическим, т.е. Ту (г) = Sij. Это следует из эквивалентности объемного и поверхностного осреднения и условия однородного ргьспределения напряжений на поверхности ячейки периодичности V. [c.87] В некоторых случаях для включений канонической формы получено точное решение задачи (5.1), (5.5) [130, 302]. [c.88] При произвольной объемной концентрации элементов структуры требуется учитывать взаимодействие включений друг с другом посредством упругих полей, вызываемых в матрице. Задача о распределении структурных переменных деформирования с учетом многочастичного взаимодействия связана с проблемой о взаимодействии многих тел. Структурные переменные на поверхности Sy ячейки периодичности V ргьспределены неоднородно и заранее неизвестны. [c.88] Пусть геометрический центр произвольной ячейки периодичности совпадает с началом координат. Окружим выделенный типовой элемент (ячейку периодичности) несколькими слоями аналогичных типовых элементов в соответствии со структурой рассматриваемой среды и поместим полученный ансамбль в опасть SI (схема с одним слоем для сред с гексагональной и тетрагональной структурой изображена на рис. 5.1). [c.88] Облас гь = Л — заполнена однородным материалом со свойствами матрицы. [c.89] В результате взаимодействия центрального включения с матрицей и со смежными включениями в ячейке и будут действовать неоднородно распределенные напряжения. Осредненные по w напряжения, соответствующие заданным на бесконечности ij, обозначим через qij. [c.89] Перейдем теперь к вопросу о том, можно ли подобрать такие напряжения ij, которые бы генерировали в элементе ш области й распределение напряжений и деформаций, одинаковое с распределением в ячейке периодичности переменных деформирования, удовлетворяющих заранее заданным макронапряжениям = sij. [c.89] Компоненты тензора Aijmn определяются путем решения последовательности краевых задач для области (в общем случае несимметричного включения таких задач шесть), когда на бесконечности задано одноосное растяжение и чистый сдвиг. [c.90] Так как компоненты тензора Aijmn определяются однозначно и система уравнений (5.10) имеет единственное решение, то напряжения ij, найденные из (5.10), будут единственным образом генерировать поля деформировгшия в центральном элементе ш области Q, соответ ствующие заданным макронапряжениям s,-j. [c.90] Теперь осреднением по облаигги ш можно найти компоненты тензора макродеформаций = ij, соответствующие макронапряжениям = Sij, и вычислить значения компонент тензора С . В упругом случае эти значения не зависят от конкретного макроскопического напряженно-деформированного состояния среды. Поэтому для расчета эффективных свойств упругое поле в области ш можно генерировать произвольно заданными на бесконечности области Q напряжениями ij =. [c.90] Рассмотрим вопрос о минимальном количестве окружающих центральный элемент и области П слоев типовых элементов, необходимом для получения достоверного результата решения периодической задачи (5.1)—(5.3). Следуя принципу локальности, можно предположить, что достаточно ограничиться только одним окружающим слоем. [c.90] Для проверки этого предположения был проведен численный эксперимент. Одно и то же решение периодической задачи получено в центральном элементе и области с одним и двумя окружающими слоями типовых элементов. Естественно, что граничные условия краевой задачи для области Q различны для разного числа окружающих слоев. Другими словами, значения компонент тензора А в равенстве (5.10) зависят от выбранного числа окружающих элемент w слоев типовых элементов. [c.90] Варьирование в процессе численного эксперимента в широком диапазоне упругих свойств и относительной объемной концентрации элементов структуры позволяет сделать вывод о том, что периодическую задачу о деформировании неограниченной среды можно свести к краевой задаче для области, в центре которой находится конечное (причем достаточно малое) число типовых элементов. [c.90] Вернуться к основной статье