ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понятия функционального и выпуклого анализа в вариационной теории упругости и теории оболочек из "Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек " Цель данного приложения — очертить круг понятий функционального и выпуклого анализа, которые применяются в вариационных формулировках теории упругости и теории оболочек. Их использование является перспективным для развития данной теории и, в частности, позволило рассмотреть в данной книге полные и частные вариационные принципы и теоремы, сделать ряд выводов об экстремальных свойствах функционалов и т. д. [c.204] Основные определения, теоремы и обозначения функционального и выпуклого анализа см. в [1.2]. [c.204] Линейное пространство — частный случай аффинного пространства, т. е. пространства, которое вместе с любыми двумя точками X, у содержит всю проходящую через них прямую линию (множество ах +(1 — а)у. а — любое вещественное число). Линейное пространство отличается тем, что всегда содержит нулевой элемент. В книге встречаются пространства состояний, являющиеся лишь аффинными, например множество полей перемещений, удовлетворяющих неоднородным геометрическим граничным условиям (пространство, связанное с функционалом Лагранжа), или пространство напряжений, удовлетворяющих неоднородным уравнениям равновесия (па котором определен функционал Кастильяно). [c.204] Рассматриваемые в книге подпространства пространств состояний определяются, как правило, теми или иными линейными уравнениями. Линейное однородно уравнение определяет в линейном пространстве линейное подпрострапство (в аффинном — аффинное), линейное неоднородное уравнение определяет аффинное подпространство. Например, поля напряжений, удовлетворяющие неоднородному уравнению разновесия = 0. составляют аффинное подпространство в линейном пространстве напряжений. [c.205] Пространства состояний вида (и, а) или (ф, а, е) удобно рассматривать как прямые (декартовы) суммы 2 или Ф 2 пространств перемещений U, напряжений S, деформаций Е и функций напряжений Ф. [c.205] С помощью метрики оценивают близость приближенного решения задачи к точному. В энергетической метрике-расстояние между любыми двумя полями перемещений, отличающимися на смещение твердого тела, равно нулю, т. е. эти поля не различаются и их отождествляют. [c.207] С метрикой связаны понятия полноты и сепарабельности пространств, имеющие важное значение в вопросах существования решений и применимости приближенных методов эти вопросы, однако, выходят за рамки данной книги. [c.207] Заметим, что в fO.Hl 3 основе функционального анализа рассмотрены вопросы построения вариациониых формулировок, соответствующих данным краевым задачам, и применения их для приближенного решения. [c.207] Механика континуума для инженеров. [c.208] Нетрудно проверить, что g = е -е так что величины ч являются компонентами метрического тензора, но связанного с взаимным базисом они называются контравариантными компонентами. Из (2) следует также, что e -ey = 6J, где 6J—символ Кронекера, определяемый равенствами 6 = 1, 6j = 0 при i Ф /. [c.208] Пусть di (i = 1, 2. )—какой-либо другой набор базисных векторов, а —взаимный базнс к di. Векторы di можно разложить по базисным векторам ег. [c.209] Это определение позволяет обобщить понятие вектора. Пусть какой-либо объект а в каждой системе координат характеризуется п + величинами а, Л Такой объект называют экстенси-(,. .. [c.209] Скалярным произведением а-Ь тензоров а я Ь называется свертка тензора аЬ по последнему индексу а и первому индексу о. Двойное скалярное произведение а- Ь есть двойная свертка последний индекс а с первым индексом Ь, предпоследний — со вторым. [c.210] Заметим, что не всякий объект, являющийся тензором по отношению к линейным преобразованиям декартовых координат, есть тензор по отношению к преобразованиям криволинейных координат например, большие пзремещения, рассматриваемые в геометрически нелинейной теории упругости, при нелинейных преобразованиях (13) преобразуются по нелинейному закону, а не по векторному. В данной книге используются только бесконечно малые перемещения и деформации, являющиеся векторами и тензорами. [c.211] Векторную (тензорную) функцию, заданную в области V евклидова пространства, называют также векторным (тензорным) полем. [c.211] Совокупность величин — образует тензор с = Vo на единицу большей валентности, чем о, который называется градиентом тензора о. В частности, градиент скаляра — вектор. [c.212] Для ковариантнон производной справедливы те же правила дифференцирования суммы, произведения и т. д., что н для обычной производной. Ковариантные производные от компонентов метрического и дискриминантиого тензоров равны нулю, так что эти компоненты при ковариантном дифференцировании должны рассматриваться как постоянные. [c.212] Векторное произведение V X называется ротором (вихрем) тензора а, скалярное произведение V -о — дивергенцией тензора а. [c.212] Для тензорных функций, удовлетворяющих известным условиям непрерывности и дифференцнруемости, справедливы формулы преобразования интеграла по области в интеграл по ее границе. Эти формулы в книге применяются для интегрирования по частям при преобразованиях функционалов. [c.213] Вернуться к основной статье