ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О применении различных функционалов для оценки точности приближенных решений из "Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек " В данном параграфе описаны вариационно-разностные схемы и приведены некоторые другие данные об алгоритмах, на основе которых составлен комплекс программ для расчета пологих оболочек, имеющих ребра различной ориентации, отверстия, вырезы и другие особенности 5.2, 5.4]. [c.182] Значения неизвестных функций ui, U2, w отыскиваются в узлах ij прямоугольной сетки с шагом 1 по направлению оси л и по оси у (рис. 5.14,а). [c.183] Вместо неизвестных производных dwidv в контурных точках используются прогибы в законтурных точках угловая законтурная точка не вводится. [c.185] Здесь интеграл от ах + by равен нулю благодаря особому положению точки ij — в центре площадки интегрирования. Для контурных точек, которые находятся не в центре площадки интегрирования, погрешность вычисления интеграла по каждой площадке имеет порядок малости y V). [c.187] При этом в.угловых и контурных точках выражение в квадратных скобках в (13) считается равным нулю, если для вычисления хотя бы одной из входящих в него деформаций требуются перемещения ui или 2 в законтурных точках (так как за границей оболочки нет U], Ui). [c.188] Расчетный опыт показывает, что схема 2 имеет хорошую точность для тех задач, в которых направления анизотропии совпадают с направлениями координатных осей. Для задач с косой анизотропией, особенно дискретного характера (например, для оболочек с ребрами произвольного направления) схему 2 лучше модифицировать, добавив к (11), (12) формулы вычисления деформаций по направлениям диагоналей сетки и включив в функционал (13) соответствующие слагаемые (т. е. усреднять значения функционала не по четырем, а по восьми направлениям вычисления нецентральных разностей). [c.189] Применительно к схеме 1 идея совмещения направления анизотропии с направлением дифференцирования реализована в программе расчета оболочек с ребрами произвольного направления [5.4] путем введения дополнительной системы координат, связанной с направлением ребер. [c.189] Коэффициенты уравнений вычисляются подпрограммой вычисления коэффициентов и записываются на магнитный барабан. Тот факт, что коэффициенты уравнений, записанных в различных точках, могут быть одинаковыми, используется для экономии места на барабане и для экономии времени счета за счет уменьшения количества обменов информацией между оперативной памятью и барабаном на барабане хранятся только различные строки коэффициентов и информация об их соответствии точкам сетки. Программа для ЭВМ типа М-20 с оперативной памятью 4096 ячеек может решать задачи с сеткой более 800 узлов. [c.190] Решение системы уравнений выполняется итера ционным методом релаксации (методом Гаусса —Зей-деля) с использованием различных приемов ускорения сходимости (см. 5). Для метода неполной релаксации применялся автоматический поиск оптимального коэффициента релаксации, обеспечиваю щего самое быстрое убывание невязок уравнений, т. е. градиента функционала. [c.191] Одним из наиболее эффективных способов определения меры погрешности и ее вычисления или оценки является применение энергетических оценок, основанных на том или ином вариационном функционале при этом используются его экстремальные свойства. [c.192] Можно определить и ряд других мер расстояния. Таким же образом определяются метрики в теории оболочек. [c.193] Метрики (3), (4) и (5) имеют, вообще говоря, различную область применимости. Например, (5) может не иметь смысла на элементах и , выбираемых в качестве приближенного решения это относится ко многим разновидностям вариационно-разностного метода. Наиболее универсальна энергетическая метрика (3). [c.194] Априорные оценки для метода Ритца рассмотрены в [0.11]. Основой для получения как среднеквадратичных оценок, так и равномерной в [0.11] служит энергетическая оценка вида (3). Эти результаты применимы для вариационно-разностных схем, построенных на основе метода Ритца (см. 3). [c.194] Соотношение (9) является энергетической оценкой (3) погрешности, которую дает замена истинных функций и, и% W функциями и, и, полученными из решения сеточной задачи с помощью любого способа интерполяции, для которого погрешность вычисления всех производных, входящих в функционал, не больше чем 0 V). Используя [0.11], можно на основании (9) получить другие оценки сеточного решения, в частности равномерную. [c.195] Погрешность более широкого класса решений поддается оценке в энергетической метрике (3). Для этого требуется использовать экстремальные функционалы расстояние (3) между точным и приближенным решениями определяется разностью точного и приближенного значений функционала. [c.196] Для вычисления апостериорной энергетической оценки решения, полученного, например, на основе минимального функционала, необходимо знать либо его минимальное значение Э(и°), либо оценку снизу для этого значения, см. далее (15) — (17). В гл. 3 и 4 есть по одному функционалу, минимальные значения которых известны это функционалы физических соотношений Эф(е,а) и Эф(е,1л,Т,М), минимум которых равен нулю. Минимальные значения остальных функционалов, имеющих минимум, заранее неизвестны и поэтому нуждаются в оценке снизу. Соответственно, чтобы вычислить энергетическую оценку погрешности решения, полученного на основе максимального функционала, необходимо оценить его стационарное значение сверху. [c.196] Оценку снизу для минимального значения функционала можно получить, если приближенно решить данную задачу с помощью какого-либо максимального функционала, приведенного в гл. 3 или 4, так как все функционалы в гл. 3 или 4, кроме Эф, имеют одно и то же стационарное значение минимальные функционалы дают оценку сверху для этого значения, а максимальные —оценку снизу. [c.196] Функционалы (13) и (14) соответствуют методу негармонического остатка получения энергетических оценок (см. ниже). [c.198] Принципиальное звено здесь—построение максимального функционала. В (0.11] приведено несколько способов построения максимального функционала, предложенных различными авторами. Покажем, что все эти способы можно свести к преобразованиям функционалов по Куранту—Гильберту [0.9]. [c.199] Вернуться к основной статье