ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О классификации прямых вариационных методов расчета из "Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек " При вариационной формулировке любой сложной задачи нужно уделять особое внимание обеспечению полного набора независимых вариаций разрешающих функций. Тогда совокупность условий стационарности вместе с дополнительными условиями для используемого функционала представляют все уравнения, необходимые для правильной формулировки задачи, в том числе и граничных условий. [c.147] В ряде случаев при решении задач со сложными граничными условиями можно использовать представление их как контактных задач, проводя искусственную линию контакта или поверхность контакта, при достаточно простых граничных условиях для каждой части. При этом дополнительными условиями к функционалам являются статические и (или) геометрические условия контакта. [c.147] Ниже для функционалов Лагранжа и Кастильяно разобрано несколько характерных примеров, которые дают представление об общей методике учета сложных граничных условий при вариационной постановке задач теории упругости и теории оболочек. Для других функционалов можно использовать эту методику, а также теорию преобразования вариационных проблем с функционалами Лагранжа и Кастильяно в качестве исходных пунктов, а для теории оболочек — статико-геометрическую аналогию в вариационной форме (гл. 4, 7). [c.147] Отсюда с помощью формулы Остроградского можно вывести дифференциальные уравнения равновесия (см., иапример, [3.3]). [c.150] Эти уравнения являются условиями стационарности функционала Кастильяно (см. 2.3а). [c.152] Деформационные граничные условия для оболочки. [c.152] Этот факт легко обнаружить при выводе функционала 5лз (е, ц) из Эл2 (и, е, ц). При этом условие непрерывности перемещений, которое для Эл2 выполняется автоматически за счет выбора пространства состояний, переходит в систему уравнений неразрывности, среди которых в данной задаче есть (15). Ниже дан вывод условий (15). [c.155] Уравнения неразрывности представляют собой условия однозначности перемещений, определяемых по данным деформациям эти условия можно записать в виде (4), где I — любой замкнутый контур. Для односвязной области условия однозначности перемещений (4) следуют из уравнений неразрывности в области для многосвязной области дифференциальных уравнений неразрывности недостаточно для (4), если замкнутый контур охватывает отверстие. Поэтому при переходе от (4) к уравнениям неразрывности в области необходимо сохранить для каждого отверстия по одному набору уравнений (15) вида (4). В случае геометрических граничных условий они выполняются автоматически. [c.155] Проведенное рассуждение позволяет поставить для функционала (е) задачу с дисторсиями (см. [c.155] Уравнения неразрывности контура (15 1 являются условиями стационарности функционала Кастильяно (см. 2.3а) и связаны статико-геометрической аналогией с уравнениями равновесия контура ( 2.26, 2.36). [c.155] При выводе условий стационарности функционала Кастильяно при данных граничных условиях с использованием функций напряжений необходимо учитывать, что граничные значения функций напряжений определяются граничными условиями не однозначно, а с точностью до постоянных (шесть констант для каждого связного нагруженного участка). Выразив эти константы через величины ijj, 0/ и варьируя последние, можно обнаружить, что среди условий стационарности функционала Кастильяно есть уравнения неразрывности контура вида (15), где деформации должны быть выражены через усилия или функции напряжений. [c.156] В случае многосвязной оболочки (рис. 5.3,6), когда оба конца нагруженного участка совпадают, /С и Е представляют собой заданные дисторсии. При отсутствии дисторсий К = 0, Е = О, и функционал Кастильяно не отличается по виду от табл. 4.2. Но приведенное рассуждение показывает, что величины ф, 0/ все равно нужно варьировать, и в результате получаются однородные уравнения неразрывности контура. [c.156] Однако в случае одного связного участка контура со статическими граничными условиями легко по заданным усилиям Q , М определить удовлетворяющие этим условиям функции напряжений tj), ti и, наоборот, по функциям напряжений tJ), т] определить усилия Q, М (см. 2.1в). В этом случае годятся любые tJ), Т1 из всех, отличающихся друг от друга на слагаемые типа жесткого смещения . [c.158] В случае нескольких связных участков со статическими граничными условиями, описанном в 2.3а, функции напряжений на каждом связном участке определяются с точностью до шести констант, которые нужно варьировать. [c.158] В случаях, изображенных на рис. 5.4, задав функции напряжений на одном участке, на другом их можно определить однозначно. Действительно, при наличии абсолютно жесткого подкрепления (рис. 5.4,а) разность углов напряжений и функций напряжений в точках А и В определяется главным вектором и главным моментом внешних сил, приложенных к участку АВ (см. (5), (6)), которые в данном случае известны. Для многосвязных оболочек иногда можно из некоторых соображений (например, из симметрии) определить главный вектор и главный момент усилий, действующих в сечении АВ (рис. 5.4,6), а следовательно, и разность углов напряжений и функций напряжений в точках А и В при нагрузках, указанных на рис. 5.4,6, они равны нулю. Эту задачу можно решать как способом, описанным в 2.3а, так и описанным ниже способом, в котором константы tJ), уже найдены из соображений симметрии и не варьируются. В любом случае необходимо использовать разрывные функции напряжений (см. 2.1в). [c.158] Для функционала Эк5(ф, Af) из шести условий (17) нужно ставить лишь три (сравните с 2.2а). [c.159] И статические граничные условия. [c.160] Отсюда следует линейный закон распределения функции напряжений вдоль контурных кромок, который может быть представлен с помощью четырех параметров— значений (рд, (р , (р функции напряжений в углах. Три из этих параметров можно зафиксировать, так как функции напряжений, отличающиеся друг от друга на полином первой степени а + Ьх су, дают одни и те же усилия Тар, а значит, одно и то же значение функционала Эс(ш, ф). Другими словами, стационарное значение функционала Эс(ш, ф) достигается на любом элементе из множества функций напряжений, отличающихся друг от друга слагаемыми вида а Ьх су, и поэтому, чтобы найти один какой-либо представитель этого множества, параметры а, Ь, с следует зафиксировать. [c.162] Здесь kj y — кривизна кручения, Е — модуль упругости, ц, — коэффициент Пуассона материала, /г — толщина оболочки. Выражение (25) представляет собой интегральную зависимость, связывающую функцию напряжений ф с заданной деформацией перекоса (рис. 5.6, в), выраженной в левой части (25) через смещения угловых точек. При граничных условиях (22) левая часть (25) равна нулю. [c.163] Таким образом, мембранная часть граничных условий (22) реализуется линейным характером распределения функции напряжений вдоль кромок (рис. 5.6,6) и уравнениями (24), (25). Действительно, выполнение условий (24), т. е. гц == О на контуре, еще недостаточно для реализации условий отсутствия тангенциальных смещений. Остается возможность деформации перекоса (рис. 5.6,в), которая и фиксируется условием (25). [c.163] Вернуться к основной статье