ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Использование вариационных принципов для анализа и решения задач теории упругости и теории оболочек Различные формы вариационных уравнений теории упругости и теории оболочек из "Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек " Для исследования экстремальных свойств функционалов, участвующих в формулировке вариационных принципов теории оболочек, так же как и для функционалов теории упругости, может быть использовано свойство выпуклости (см. Приложение 1) одних функционалов Лагранжа и Кастильяно (исходных пунктов преобразований) и невыпуклости других. Экстремальные свойства различных полных и частных функционалов можно выяснить, используя 3 гл. 2. Результаты представлены в табл. 4.6 в этой таблице стрелки обозначают, что знаки min и max можно поменять местами, так что данный функционал имеет седловую точку. [c.130] Исследование выпуклости функционалов Лагранжа и Кастильяно в теории оболочек ничем не отличается от аналогичного исследования в теории упругости (см. гл. 3, 5). [c.131] Отсюда следует, что все варианты функционала Лагранжа в точке стационарности имеют условный минимум, а все варианты функционала Кастильяно — условный максимум. Условная экстремальность функционалов 5л4 и 5к4 следует, из того, что они получены соответственно из Эщ и из 5к2 заменой переменных. [c.131] В 1—5 рассматривались вариационные принципы теории сплошных оболочек, в которых варьируемыми были непрерывные поля параметров напряженно-де-формнрованного состояния. [c.131] Формулировку вариационных принципов этой теории, так же как и теории упругости для сплошного тела (см. гл. 3, 6), можно обобщить, рассматривая в качестве варьируемых переменных разрывные поля перемещений, деформаций, усилий и функций напряжений. Вариационные принципы при разрывных полях параметров напряженно-деформированного состояния могут служить для построения алгоритмов расчета оболочек, в частности при использовании метода Ритца и метода конечных элементов, а также для решения некоторых контактных задач. [c.132] Не останавливаясь подробно на выводе функционалов теории оболочек для разрывных полей, укажем на некоторые особенности этой задачи по сравнению с аналогичными вопросами в случае трехмерного тела. [c.132] Вариационные принципы для контактных задач теории оболочек подробно рассмотрены в работах [0.1, 4.1], в которых разобраны случаи контакта оболочек под углом, контакта оболочек с ребрами и Другие. [c.133] Этот факт облегчил построение общего решения уравнений равновесия в форме (1.29) по аналогии с общим решением (1.6), (1.12) уравнений неразрывности. [c.133] седловой точке — седловая точка, а отсутствию каких-либо экстремумов — отсутствие экстремумов. Поэтому табл. 4.6, в которой приведена сводка экстремальных свойств функционалов, служит одновременно для иллюстрации статико-геометрической аналогии в вариационной форме. [c.135] Следует иметь в виду, что любой данный функционал и его статико-геометрический аналог относятся, вообще говоря, к разным задачам. [c.135] Другой пример дают задачи расчета многосвязных оболочек, разобранные в гл. 5. Функционал Кастильяно для многосвязной оболочки при статических граничных условиях имеет в качестве одного из условий стационарности уравнения неразрывности контура отверстия-, его аналог — функционал Лагранжа — имеет в качестве условий стационарности уравнения равновесия контура отверстия, но для задачи с деформационными граничными условиями. Этот пример показывает, что вариационная форма статико-геометрической аналогии позволяет глубже увидеть связь уравнений и найти ее между соотношениями, которые раньше казались несвязанными. [c.135] При расчете оболочек по линейной теории всегда решаются две задачи исходная и ее аналог. Например, алгоритм или программа, предназначенная для решения задач теории оболочек в перемещениях, будет давать решение сразу двух задач данной —в перемещениях и ее аналога — в функциях напряжений. Существование аналогии облегчает вывод вариационных формулировок многих задач теории оболочек. [c.136] При использовании статико-геометрической аналогии в вариационной форме проявляется преимущество вариационных формулировок, охватывающих все стороны задачи и согласующих дифференциальные уравнения и граничные условия. В частности, эта форма содержит в себе аналогию между статическими и геометрическими граничными величинами, между геометрическими граничными условиями в перемещениях или деформациях и статическими — в функциях напряжений или усилиях, а также между сложными граничными условиями для односвязных и многосвяз-пых областей. [c.136] Замечание. Из табл. 4.1—4.6 можно получить статико-геометрическую аналогию в вариационной форме для различных вариантов теории оболочек, обладающих ею в дифференциальной форме и отличающихся от использова1того в данной книге варианта [4.12] выбором деформаций и усилий, например, [П.10, 4.7, 4.11]. Для этого нун но использовать связь деформаций и усилий рассматриваемой теории с [4.12] (см., например, 1 и 8). [c.136] В данно.м параграфе приведены характеристики некоторых наиболее употребительных систем координат (метрические тензоры, СИ.МВОЛЫ Кристоффеля) и рассмотрен переход от тензорной формы записи функционалов к развернутой. Приведен ряд полных и частных функционалов в развернутой форме в криволинейных ортогональных координатах. [c.136] Различные частные виды ортогональных координат используют при расчете оболочек, имеющих соответствующую форму цилиндрические координаты — для расчета цилиндрических оболочек, сферические — для сферических оболочек и т. д. [c.137] Аналогично получается развернутое выражение Вг(М,Т), к которому можно перейти от (12), выполнив замену индексов (1ч=ь2). Соотношения (9) и (12) дают развернутую форму записи уравнений равновесия для оболочек в криволинейных ортогональных координатах. [c.139] Круглые скобки у индексов физических компонентов всюду опущены. [c.141] Теория преобразования вариационных проблем [0.9] применима, конечно, не только к квадратичным функционалам, которым соответствуют линейные краевые задачи известны примеры ее применения для исследования вариационных принципов в некоторых нелинейных задачах теории оболочек, но без исследования выпуклости и экстремальных свойств функционалов. [c.141] Вернуться к основной статье