ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Частные функционалы. Их взаимосвязь с полными функционалами из "Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек " Теория Куранта — Гильберта во многих случаях позволяет проследить за изменением экстремальных свойств вариационных функционалов при преобразованиях, рассмотренных в 2. Эта теория—не единственный способ исследования экстремальных свойств функционалов. Можно было бы, например, для каждого из функционалов исследовать вторую вариацию. Теория Куранта имеет то преимущество, что она позволяет подойти с единых позиций к исследованию их свойств. Другое ее преимущество в том, что все полученные функционалы имеют одно и то же стационарное значение, это важно для оценки точности приближенных рещений (см. гл. 5). [c.41] В данном параграфе, в отличие от [0.9], прн исследовании вопросов преобразования экстремальных задач использованы некоторые результаты из выпуклого анализа, которые помогают глубже понять суть дела и дают достаточные условия применимости описанных процедур. [c.41] Неравенство (9) показывает, что точка стационарности полного функционала может быть точкой мак-симина, а может и не быть — это зависит от вида функционала F и функции ф. [c.44] Достаточным условием того, чтобы в (9) выполнялось равенство, или, что то же самое, точка стационарности полного функционала была седловой точкой, является выпуклость вниз функционала F и выпуклость множества, определяемого ограничением (6) [1.1, 1.5]. Очевидно, ограничение-равенство тогда и только тогда определяет выпуклое множество, когда оно является линейным уравнением. Поэтому вышеуказанное условие можно сформулировать следующим образом для выполнения равенств (8) и (10) достаточно, чтобы функционал F(u) был выпуклым вниз, а равенство ф(м) = 0 — линейным уравнением. [c.44] Полученные в гл. 3 и 4 полные функционалы теорий упругости и оболочек имеют в точке стационарности минимакс или максимин, или то и другое (сед-ловую точку), или не имеют ни экстремумов, ни минимаксов. Среди них не обнаружено полных функционалов, имеющих минимум или максимум. [c.45] Левая часть равенства (18) означает производную функционала Fn на подпространстве i при фиксированных U2, X. Так как в (10) отыскивается минимум по и при фиксированном X, то при дополнительном условии (18) равенство (10) сохраняется. В равен- стве (8) минимакс по данным переменным может быть нарушен, так как при отыскании максимума по X при фиксированном и (18) накладывает ограничения на X, и минимакс может быть найден неверно. Равенство (8) сохраняется, если (18) не содержит X тогда в (8) просто сужается область поиска минимума по и. [c.47] Теория преобразования вариационных проблем представляет собой непрерывный многообразный процесс, охватывающий все возможные формы функционалов в различных пространствах состояний. [c.47] На рис. 2.1 множество функционалов данной теории изображено в виде сферы. На полюсах расположены функционалы, имеющие максимум и минимум полные функционалы тяготеют к экватору и имеют минимакс и максимин, а у некоторых из них отсутствуют какие-либо экстремальные свойства. [c.47] Многообразные частные функционалы занимают промежуточное положение. [c.48] Проблем, взаимосвязь всех функционалов, которые могут быть построены на основе теории, изложенной в гл. 2. [c.48] Из приведенных в конце книги таблиц к гл. 3 и 4 видно, что используемые в литературе функционалы составляют лишь малую часть того множества, которое содержится в схемах на рис. 2.1 и 2.2. Отсюда ясно, какое большое число различных функционалов еще может быть привлечено с помощью теории преобразования вариационных проблем в активную область анализа и расчета. [c.49] В этой главе рассматриваются полные и частные функционалы, участвующие в формулировке вариационных принципов трехмерной теории упругости. Соответствующие общие и частные вариационные принципы в различных пространствах состояний содержатся в обобщенных формулировках, приведенных в гл. 2, 1, и могут быть получены путем конкретизации параметров пространства состояний и дополнительных условий (если они имеются). Функционалы, рассмотренные в данной главе, помещены в таблицах 3.1—3.13 в конце книги. [c.50] Выражения (п а и) и (п а и) означают, что скалярное умножение ограничено теми компонентами поверхностных сил или перемещений, которые входят в статические или геометрические граничные условия соответственно. [c.51] Уравнения (1) и (8) эквивалентны в том смысле, что из существования для данного е вектора и такого, что выполняется (1), следует справедливость (8), а (8) влечет за собой существование вектора и такого, что выполняется (1). Точно так же зависимости (7) и (6) эквивалентны ). [c.51] метрические граничные условия (5) могут быть заданы в дифференциальной форме — в виде деформационных граничных условий [0.3, 3.8], а статические уравнения на поверхности (4) — в интегральной форме, в функциях напряжений. В этом случае могут быть заданы некоторые компоненты тензоров тангенциальной и иэгибной деформаций поверхности S и дополнительные компоненты тензора функций напряжений. [c.51] Вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно изучены в литературе с точки зрения как стационарности, так и экстремальности соответствующих функционалов. Поэтому их целесообразно использовать как исходные пункты для построения и исследования системы полных и частных вариационных функционалов теории упругости. В соответствии с 2 гл. 2 здесь рассмотрены различные варианты принципов Лагранжа и Кастильяно. Экстремальные свойства соответствующих им функционалов будут использованы в 6. [c.54] Данный функционал может быть преобразован путем расщирения пространства состояний за счет замены переменных е(и) е, о(е)=о и искусственного введения соответствующих дополнительных условий в другие разновидности, имеющие различные особенности. Некоторые из полученных таким путем вариантов функционала Лагранжа (наиболее интересные с точки зрения авторов) представлены в табл. 3.1. [c.54] Исключение перемещений из геометрических уравнений в объеме (1.1) и на поверхности (1.5) рассмотрено в 1 зависимости Коши (1,1) переходят в уравнения неразрывности деформаций (1.8), а граничные условия в перемещениях (1.5)—в деформационные граничные условия (1.9). [c.55] В табл. 3.1 приведен наиболее простой частный случай, когда на части Su поверхности тела S заданы все компоненты вектора перемещений, а на остальной части Sf — все компоненты вектора усилий, причем Su — связное множество (т. е. состоит из одного целого куска любой формы). Если граничные условия (1.5) охватывают несколько связных участков поверхности S, то в список дополнительных условий должны быть включены уравнения вида (1.12). [c.55] НИИ (8). Такое частное решение легко найти, например, когда / + а° п 0 в этом случае можно принять р = 0. [c.58] Вернуться к основной статье